数学之美（第三版）读后感摘抄

　　《数学之美（第三版）》是一本由吴军著作，人民邮电出版社出版的平装图书，本书定价：69.00，页数：364，特精心从网络上整理的一些读者的读后感，希望对大家能有帮助。

　　《数学之美（第三版）》读后感(一)：值得一看的书，内容深有感触！！！！！！！重要的事情说三遍，很好，很好，非常好！！！！

　　数学不再是枯燥单一乏味无趣，也可以是美丽，充满魅力的！深入浅出，写的很生动，要不是有这两本书出现，很多人是没有耐心去了解那么枯燥的背景和故事的。 当中有许多故事性的东西，还有作者对数学模型以及研发的一些感想，也都很有见解，至少能丰富我的眼界吧。所以在培养孩子的时候，最重要的是为他们树立正确的人生价值观，培养认知世界的兴趣和方法，至于知识，长大了也可以学，而且学的更快。

　　《数学之美（第三版）》读后感(二)：本书的受众

　　

花了半个小时把这本大名鼎鼎的书看完了，全书没几个公式，多数都是文字和图片，说看不懂的大概是文科生？

我想了半天他这本书的受众，估计也就是大老板和想让学生搞天坑学科与人工智能交叉的导师。

年轻人要真想学点东西，不如直接看看逼乎和csdn的帖子，动手跑几个实例，调调参，兴许真能学到点。

与《浪潮之巅》一样，这本书读起来会让你有满足感。就像看激荡三十年的时候以为自己也能成为时代弄潮儿一样，因为他从不给你讲技术细节（创业的过程中遭到过哪些具体的问题）。

说明一点，我也不是计算机专业学生，传统理工科研究生，感觉这本书并没有别人所说的那么好。

　　《数学之美（第三版）》读后感(三)：真值表怎么看？

　　

布尔运算我明白了，但是这个真值表我怎么左看右看都不明白

哪位帮忙解释下？？

听说要140字。。。。。听说要140字。。。。。听说要140字。。。。。听说要140字。。。。。听说要140字。。。。。听说要140字。。。。。听说要140字。。。。。听说要140字。。。。。听说要140字。。。。。听说要140字。。。。。

　　《数学之美（第三版）》读后感(四)：吴军的《数学之美》讲了些什么我们能读懂的东西？

　　

1古埃及的《亚尼的死者之书》收藏于大英博物馆，这是一轴绘在莎草纸上长达24米的长卷。（好长） 2法国语言学家商博良破解了罗塞塔石碑上的古埃及象形文字。（了不起） 3罗马人用字符I代表1，V代表5，X代表10，IV表示5-1=4，VII表示5+2=7，IIXX表示20-2=18。（原来如此） 4辛格的做事哲学：先帮用户解决80%的问题，再慢慢解决剩下的20%问题，是在工业界成功的秘诀之一。许多失败并不是因为人不优秀，而是做事情的方法不对，一开始追求大而全的解决方案，之后长时间不能完成，最后不了了之。（深有感触） 5出现在文章开头和结尾的词比出现在中间的词重要。在中学学习语文和大学学习英语文学时，老师都会强调这一点——阅读时要特别关注第一段和最后一段，以及每个段落的第一个句子。在自然语言处理中这个规律依然有用。因此，要对标题和重要位置的词进行额外的加权，以提高文本分类的准确性。（文章观点前置比较容易被搜到和提高展示量） 6在第二次世界大战中，日本的情报经常被美国人破译，他们的海军名将山本五十六（出生时他父亲56岁，故取名五十六）也因此丧命（美国破译了日本的密码，掌握了山本五十六飞机的行踪，然后派战斗机击落了他的座机）。 7二十世纪60年代，尼罗河上的阿斯旺大坝修成，尼罗河下游再也没有洪水可以灌溉土地，埃及延续了几千年的农业也因此被破坏殆尽。（这么严重？） 8古埃及的历法中没有闰年，它的一个季度也非常长：长达365X4+1=1461天，因为每隔这么多天，太阳和天狼星一起升起。（我们一年四季，古埃及一季四年） 9金星大约每四年在天上画一个五角星。（不明觉厉） 10一五八二年，教皇格里高利十三世在儒略历的基础上删除了10天，然后将每一个世纪最后一年的闰年改成平年，然后每400年再插回一个闰年，这就是我们今天用的日历，这个日历几乎没有误差。为了纪念格里高利十三世，现在的日历也叫作格里高利日历。（没想到教皇也有出彩的地方） 11开普勒第二定律：行星和恒星连线单位时间扫过单位面积。（是不是说离恒星越近，行星的公转速度就越快？） 12二零一二年，世界上人口最多的10个城市排名从多到少：东京、雅加达、首尔、德里、上海、马尼拉、卡拉奇、纽约、圣保罗、墨西哥城。（东京保持人口第一好多年了） 13统计表明95%的个人投资者最终跑不赢大盘，50%—70%的频繁短线交易者甚至在亏钱。（看来抱团很重要） 14如果一个散户投资人能真正做到“用数据说话”，只需奉行一条投资决策，那就是买指数基金。（定投指数基金确实不错） 15不存在一组正整数x,y,z,让x立方+y立方=z立方。这个问题实际上是著名的费马大定理的一个特例，而这个定理本身已于1994年由英国著名数学家怀尔斯证明了，也就是说，它是无解的。当然，不管怎么说，知道一个问题无解也算是有了答案。（感谢怀尔斯） 除了以上这15点干货，其他内容基本是非大学数学专业和计算机专业的人看不懂的内容。虽然吴军博士力图用最人性化的方式把很难的内容讲清楚，但是我们可别忘了，吴军博士他是一位博士，他当时写这些内容是写给计算机专业的人才看的，实不相瞒，这本书是我读不懂的内容最多的一本书，读不懂的内容占了90%，不过我还是硬着头皮把能读懂的15个精华干货摘抄给大家看，对于不是大学数学和计算机专业的普通人来说，了解以上15个精华干货真的就够了。可以说，大学之前的学生，哪怕是参加过奥数的学生，或者对数学感兴趣的学生，都不建议阅读这本书，因为，你可能因为看到那些它不认识你，你不认识它的数学公式感到头大而对数学望而生畏，搞不好一位数学家因此被埋没。 恭喜你省下了25元的购书款和5个小时的阅读时间。

　　《数学之美（第三版）》读后感(五)：《数学之美》是给这个社会和年轻人最好的礼物

　　14年前，“数学之美”系列文章首载于谷歌黑板报，即获得上百万次点击，凡阅文者，皆叹相见恨晚，大学时痛恨万分的马尔可夫链、矩阵计算，甚至余弦函数等原来如此亲切，自然语言和信息处理怎么这么有趣。

　　14年后，从系列博客到一本屡获大奖的畅销书，《数学之美》已累计销售70余万册，豆瓣评分8.9，还一举拿下国家图书馆文津奖、中华优秀出版物提名奖等国家级图书大奖。李开复评价《数学之美》：“是给这个社会和年轻人最好的礼物。”

　　作为国内最畅销的科普著作之一，如今《数学之美》再度升级，根据当下最前沿的科技发展，将区块链、量子通信以及人工智能等相关内容再次化繁为简，娓娓道来。

　　捧读吴军博士刚出炉的第三版《数学之美》，忍不住为那一条简单的椭圆曲线求交出能与互联网比肩的区块链所惊叹，为数学随机性在量子通信密钥分发上产生神奇的化学反应而动心。

　　仅仅10分钟，对数学的爱恋又涌上了心头。

一切从“无用”说起：无用之用，方为大用

　　学数学有什么用呢？

　　这个问题，从小到大一直盘旋在我们的大脑里。

　　背了个公式cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，想：“这有什么用？”

　　证明了道欧拉的七板桥问题，想：“这有什么用？”

　　学习了线代、概率、统计、布尔代数、信息熵想：“这有什么用？”

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　　从踏入学校第一天上课到考试结束毕业离开，怀疑始终相伴。

　　即使进入社会，也难免在某刻沮丧曾经在计算机系学到的数学基础似乎在工作中一无是处。

　　然而，真的没有用吗？

　　在《数字之美》书中，看似毫不相干的余弦定理，却可以应用计算机准确地对各个新闻网站的内容自动分类。

　　七桥问题创立的图论，在两百多年后，却成为互联网搜索的一大利器，是自动下载工具网络爬虫和Google早期杀手锏网页排名技术PageRank的编写原理。

　　借助概率和统计，计算机如何理解人类语言这一困扰科学家数十年的时代难题得以解决，机器翻译、语音识别的成功应用，成为我们今天现代通信的基础。

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　　跨越眼前阅历与时空的局限，吴军博士用生动形象的语言，结合数学发展的历史和实际的一手案例，谈古论今，在书中系统地阐述了与现代科技领域相关的数学理论的起源、发展及其作用，尤其是他在语音识别、自然语言处理和信息搜索领域多年来积累的认识。

　　这一切，让我们惊喜地看到数学是如何在历史的长河里不时提点世人，许多“大用”，都是从那些看似无用的智慧数学中衍生出来，“无用”之中常常隐藏着有用的潜质。

　　无用之用，方为大用。

　　而这恐怕也是世上始终有人，倾尽一生，研究数学的原因。

　　亚马逊读者@东风“专注成就专业”感慨：如果在大学时能看到这本《数学之美》的话，我相信数学会学得更好的，好可惜。现在的年轻人有福，可以直接从吴军博士的这本书里启蒙。

　　豆瓣读者@野笛无腔留言：读了这本书，才第一次惊讶的发现，数学原来并不只是枯燥的考试题，而是人类理解世界最重要的一种工具。这本书最大价值也在于没有直接告诉你答案，而是让你带着新的启示、新的方法以及新的眼光、新的境界来重新理解这个世界。

数学，是一种思维方式

　　有人会问：可生活中，数学不好的人依旧可以活得光鲜明亮呀。网上不就老流行那么一句话：我上街买菜又用不到二元函数。

　　对此，河南洛阳一高副校长钟保强曾风趣地回笑：“买菜可能不会用到数学，但它却可以决定你在哪里买菜”。

　　达芬奇用大量的数学几何原理画出了不朽名画《最后的晚餐》和《蒙娜丽莎》，古典音乐大师巴赫则用精巧的构思与计算演奏出一曲曲动人的乐章。

　　同样，在《数学之美》中，不管是自然语言处理的学术界泰斗，还是通信领域的世界级专家，他们或许来自不同行业，不同国家，但都有一个共同的特点，那就是他们数学基础都特别好，同时善于运用数学解决很多实际问题。

　　有从工业界到学术界的迈克尔·科林斯，务于精纯，追求完美，用近五年时间做出了一个在相当长时间内世界上最好的文法分析器，而这被认为是很多自然语言应用的基础。

　　有从学术界到工业界的艾里克·布莱尔，观其大略，简单才美，善于寻找简单却有效的方法，基于变换规则创立机器学习法，成为微软搜索研究的领军人物之一。

　　吴军博士以引人入胜的笔调，在书中淋漓再现了各行业一流精英对抽象思维的极致应用以及他（和同事们）的思考过程，而这一点没有实际经验的学者是不可能做到的。在他的笔下，数学不再是我们一般认为的枯燥深奥的符号，而是实实在在源于生活和工作的有趣现象和延伸。

　　书中记录了吴军博士这样一段经历。2002年，在谷歌76种语言检索只有一种排名算法，对中日韩搜索很不适配时，如何不增加公司成本不购买服务器就能优化中日韩搜索的结果成为吴军博士最头疼的问题。当即，世界最权威的网络搜索专家阿米特·辛格博士支了个招，用拟合函数替代很耗内存的语言模型，这样不需要增加任何服务器，便能够先帮助用户解决80%的问题，剩下的20%再慢慢解决。用这样简单有效的方法，很好地解决了燃眉之急，而辛格这种做事情的思维，正是在工业界成功的秘诀之一。

　　这时，你开始恍然大悟，曾经如此乏味枯燥完成的一道道计算题，艰难困苦推理证明的一道道逻辑题，每一步，其实都是对你大脑的一种强有力的思维训练。人类区别于其他动物的思维方式之一，就在于人类懂得运用理性思维去克制自己“非理性”的一面，懂得运用数学去处理生活和工作中各种纷繁复杂的事物，找到最优解。

　　而数学上那些经过几个世纪千锤百炼的的各种公式与定理，一旦与我们大脑紧密交织在一起，将大大地增强我们处理事务的能力。掌握了数学知识的人，就像戴了一副X射线眼镜一样，在各个领域都拥有不俗的成就。

大道至简：难以抗拒的“数学之美”

　　爱因斯坦曾说：“从希腊哲学到现代物理学的整个科学史中，不断有人力图把表面上极为复杂的自然现象归结为几个简单的基本概念和关系。这就是整个自然哲学的基本原理。”

　　牛顿定律用极简公式建立起经典力学的完整体系。

　　麦克斯韦方程组把光、电、磁统一了起来。

　　这个原理也贯穿了《数学之美》本身。

　　布尔代数虽然非常简单，却是计算机科学的基础，它不仅把逻辑和数学合二为一，而且给了我们一个全新的视角看待世界，开创了数字化时代。

　　《暗时间》作者刘未鹏说：作为一个十几年的科幻爱好者，深信在平凡的世界和工作之余应得闲仰望星空一样，作为生活在信息社会的个体，在上微博、Google、发邮件之余，关上显示器，能够透过《数学之美》这样的杰作，一窥纷繁涌动的数字世界背后的引擎——数学之美，实乃一件幸事。

　　简单性和模块化原是软件工程的基石，分布式和容错性是互联网的生命。

　　信息熵则是整个信息论的基础，信息论和数学又是密码学的根本。

　　一条摩尔定律主导全球IT产业40年的发展。

　　一条椭圆曲线发起区块链的变革。

　　一个数字即演化出了世界的基本规律。

　　搜狗创始人王小川评价：《数学之美》一书让我们能够体会为什么数学可以和音乐、美术一样，具有美感。

　　数学之美，无处不在。

　　《数学之美（第三版）》读后感(六)：文科生也能领略数学之美吗？当然！

　　

可能是出于缺什么偏爱什么，我这个文科生内心里充满了对数学的虔诚与热爱。尽管担心智商不足以支撑这种热爱，仍然通过一点点局部努力靠近着数学，毕竟热爱不能只是说说而已。这不，我翻开了吴军的《数学之美》……

《数学之美》的内容与疏漏可能性

这本书讲的是数学之美，更确切地说，是计算机应用领域的数学之美。作者吴军是计算机博士，毕业于清华和约翰霍普金斯大学，曾在谷歌和腾讯就职，后来当了投资人。投资的朋友可能都读过他的《浪潮之巅》，讲的是AT&T、IBM、苹果、英特尔、微软和谷歌等一浪接一浪的电子科技巨头们。而这本书，吴军指向了理解电子科技所需要的更基础性的、更理论化的知识：数学。

《数学之美》早期是发表在博客上的计算机科普系列文章，宗旨一直是面向大众，而不仅仅是计算机从业人员。以前我仅仅知道计算机背后都是数学，没了。阅读完吴军这本书后，基础的数学知识并没有增进多少，到底是术业有专攻的，书里的公式我可没有试图去掌握，但是，对计算机应用确实拥有了更基础的理解。

全书分为34个章节，从怎么理解信息化到不同计算机应用领域对应的数学，章题分得很细。那些输入法、搜索引擎、加密与解密、云计算、区块链等等我们耳熟能详的东西，都是由一个个数学公式、数学模型搭建起来。作为一个计算机基础理论的工作者，吴军想要解决一个问题时，是拿着一堆纸、一只笔进行几个小时的公式演算，而非在电脑面前快速翻飞手指，对我这个外行来说，是很有意思的一个画面。

由于通常情况下，从业人员一生的从业方向只会是其中一个具体的领域，所以这本书也会适合从业人员从更大的视野看待自己的专业。不过这也暗含了一个问题，就是吴军也不可能在他所写的全部领域都拥有前线经验，故而也看到有专业的网友批评密码学这个章节的内容有误。

科普需要严谨，而且是分外需要。科普是在向所有大众，包括我这样根本不懂具体的科学知识，通过类比等文字来理解个中逻辑的普通大众。默认科普文章背后都是严谨的、正确的科学知识，难道不是写作者与阅读者心照不宣的共识吗？要向读者掀开计算机应用神秘面纱的文章，本身存在误导的话，真是叫人感到沮丧呢。其实如果有作者本人不甚了解的领域，也可以通过与其它专业的科学家合作的方式来完成一本科普书籍的。

这个问题的存在同时也是一种祛魅，人无完人，书无完书，有所选择地为我所用，也算是无论如何强调都不过分的一点了。

《数学之美》中让我印象深刻的内容

《数学之美》通过文字和语言对比数字和信息，有效又有趣地带文科生推开计算机世界的大门。文字、语言和数学，在起源处就有相通性。为了统一理解和交流，不同文字和语言都有自己的编码规则，交流和翻译需要解码的能力。这也是为什么很多翻译软件都叫“罗塞塔”的原因，正是罗塞塔石碑的破译使得人类重新掌握古埃及象形文字。

通过数学的逻辑也可以让我们理解歧义、病句在文字和语言中的必然存在。如果说，词是有限而封闭的组合，语言是相对而言无限和开放的组合，如此，任何语言都有语法规则覆盖不及之处。而恰恰人类用来给语言“编码”的语法规则与习惯，一度引自然语言处理的研究往一个无法突破的方向上长跑多年，始终无果。一个学术领域迷失方向的20年，背后是很多个学者一生学术蹉跎。

如果人类不是通过模仿鸟飞，而是通过学习空气动力学来造出飞机的，那么，机器也不用通过学习人类去分析语句和语义，而是通过数学和统计学来处理自然语言的。从这点看，人工智能并没有那么神秘，只是算力而已。

算力的发展却又特别重要。事实上，人工智能是上世纪40年代便提出来的概念，50年代开始在计算机上实现，尽管只是解决一些非常简单的分类问题，却足够让学界去憧憬，计算机会否产生“智能”。事情一直没有发生的根源在于，稍微复杂点的东西当时的计算机根本没有足够的算力去实现。

摩尔定律使得计算机的速度成指数级增长，然而，一个被冷落的科研领域申请不到经费，科学家们只好祭出新的概念“连接主义”。一片树叶的确可以再次掉进同一条河流，连接主义的规模不够，仍然干不了足够重要的大事，行业再度遇冷，直到，新兴科学家们再一次给同一片树叶起了一个新名字：深度学习。可以说，深度学习是乘坐在云计算的翅膀上，尝试起飞的。

云计算使得同时使用成千上万台计算机资源成为可能，算力规模不可同日而语。Google大脑的脱颖而出，就是一方面利用了云计算的并行处理技术，另一方面通过算法降低了每次迭代的计算量，可以说是通过开源节流实现创新的。

吴军在《数学之美》中反复提到数学的简单之美，合适的、创新的数学模型很多时候是更简单而非更复杂的，甚至于可以说，“数学在计算机科学的一个重要作用，就是找到计算复杂度尽可能低的解”。为此，吴军还花了一整个章节通过天文学领域的模型来谈论数学模型的重要性。一个椭圆模型就可以解决的运行轨迹，用错误的圆形模型，计算要繁复许多许多倍。

这么一看倒是对2000年前的托勒密肃然起敬。他赤手空拳地通过40-60个大圆套小圆的方程，精确地计算出了行星运动的轨迹，误差甚至比后来哥白尼基于日心说的模型还要小……

输入法那个章节的内容则让我重新审视了一下自己的打字习惯。小时候跟着家里人一起学五笔输入法，当时是说练熟了五笔，打字可以比拼音输入法快很多。不记得是什么鼓舞着我背诵与练习毫无规律的“一地在要工”以及各个偏旁部首的位置，练熟不容易，不然也不会一旦练熟就很难放弃，似乎放弃就太浪费了过去的努力 ，也就一直使用了下来。

早期拼音输入法卯足劲儿在拼音的编码上，相对忽略了消除歧义性的编码，给其它输入法的迅速崛起创造了条件。五笔只是当时数千种中文输入法中的一个，暂时性的胜出是由于王永民更会做市场，而不是编码技术更合理。反正那些输入法的逻辑都差不多，只要背熟用熟它们设计的编码规则，打字都可以快得飞起。

而拼音输入法的优势在于，随着普通话的普及，人们并不需要额外学习一种新的编码规则来实现打字。后来，拼音输入法通过建立一个基于词的统计语言模型，通过上下文降低信息熵，降低歧义性的同时提高了平均击键次数，其它输入法的优势不复存在，人们便自然而然选择了拼音输入法。看起来，我是在拼音输入法的发展真空期学会了五笔——一个运气蛮好却终将消逝的输入法，结果再也丢不下了。

整体而言，《数学之美》不是一趟寻常意义的阅读旅程，不习惯跳着看一本书的我却不得不绕着书里的公式走，尽管作者再三强调，公式可看可不看，不影响阅读体验。文科生并不用担心读得目光涣散，不会解一环套一环的方程，仍然可以领略逻辑，领略逻辑背后的美。

　　《数学之美（第三版）》读后感(七)：怎样辨别一个人是否有趣？看看他对数学的态度

　　先抛出一个问题：怎样辨别一个人是否有趣？

　　我的答案是：那些觉得数学有趣的人，往往最有趣。

　　数学之美是内敛的，是极其富有逻辑性的，是需要经过深刻思考和体悟的。因而能体会到数学美感的人，他们看待这个世界的角度和态度往往是异于常人的，他们总能观察到那些平凡事物背后的有趣之处。

　　如果你也是觉得数学是一门有趣的学科，那请相信，吴军博士的这本《数学之美》就是献给你的最好的礼物。

　　作为一本数学方面的科普读物，它在信息量与可理解性上达到了完美的平衡。它内容稍显硬核，却又通过各种实例把高深的数学原理讲述的足够通俗易懂，让非专业的读者也能一窥数学之美。

　　说到这里，就不得不先介绍一下本书的作者吴军博士。他曾作为资深研究员和副总裁分别任职于Google和腾讯。在Google时，他和同事一同开创了搜索反作弊研究领域，领导了Google自然语言处理和自动问答等研究型项目。在腾讯，他又负责了搜索、搜索广告和街景地图等项目。

　　所以在《数学之美》中，吴军博士谈及了很多常见的数学原理和概念是如何在这些巨头企业运用的，比如搜索引擎与布尔运算的紧密联系，手机导航中用到的动态规划技术，运用余弦定理实现对新闻内容的准确分类，以及逻辑回归模型对提升搜索广告匹配度的重要性等等。

　　除了上述提到的这些，吴军博士也在本书中介绍了一些数学史故事。

　　我们会惊讶地发现，在人类历史上，数学也经常在人们面临绝境之际，以一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的姿态闪亮登场。

　　比如当众多天文学家还在学习着托勒密的那套用 40-60 个大圆套小圆的极端复杂的方式来描写行星运动的轨迹时，开普勒用一个椭圆就能将星体运动规律描述得很清楚。

　　当二战时的盟军被日德等国打得灰头土脸之际，一大批数学家对敌方情报密码的成功破译，极大推动了盟军胜利的步伐。

　　真真是一群数学家，堪挡十万敌。

电影《模仿游戏》讲述的就是二战期间以图灵为首的数学家、逻辑学家，破解德军密码的故事。

　　然而比较反直觉的是，数学家在开创一门新的数学领域或者攻关一道数学难题时，他们很多时候并不会考虑到这些数学知识会在什么地方得以应用。

　　就像“因为山就在那儿”之于登山家，数学家们做这些数学研究，往往也是基于一种探索欲，一种对数学之美的不懈追求。许多数学思想在创始当初也许并无多少实际应用价值，但科学技术的快速发展总能让它们有朝一日得以大放异彩。

　　在《数学之美》中吴军博士就提到布尔代数提出后的 80 多年里，它确实没有什么像样的应用。直到 1938 年香农指出用布尔代数来实现开关电路，使得布尔代数成为数学电路的基础。然后接下来的许多年里，众多工程师和数学家开始用一个个开关电路最终“搭出”了电子计算机。

　　我们几乎可以说，没有布尔代数，也就没有当今百花期望的互联网产业。

世界上第一台通用计算机 ENIAC

　　说句实在话，数学这门学科，对于我们这些普通人的影响往往不是外显的。

　　日常生活中我们经常会用到互联网产品和服务，几乎都与数学有着千丝万缕的联系。譬如，淘宝的千人千面、微信的朋友圈广告等。只是少有人去关心这些罢了。

　　但或许通过《数学之美》这本书，就能够稍微帮助你打开一扇新世界的大门。

　　你也许可以从中得到一些获取新知识的愉悦感，也许能够在日常工作生活中实际应用到，也许可以帮你触类旁通、开拓思路，最不济也是增加几分钟的饭桌谈资嘛。

　　就以我自己为例。

　　在我阅读的第三版的《数学之美》中，较之前增加了关于区块链、量子通信以及人工智能等近几年颇为热门产业内容。

　　本来呢，因为国内数字货币、区块链的行业乱象，我对区块链本身是无甚好感的。但通过吴军老师的介绍，我才算是明白区块链本身的技术原理和其背后巨大的实用价值。

　　所以你看，数学也是能够对一个人的价值体系进行补全和优化，使之成为一个包容性更强的人。

　　另外，在《数学之美》中，吴军老师也提到数学是一种思维。

　　许多现实存在的复杂问题，往往可以抽象成为一种简单的数学模型，用极其简单的数学概念或者公式就能表达。比如数学家欧拉就曾把看似复杂哥尼斯堡七桥问题，抽象为简单的数学模型，然后分分钟完成破解。

哥尼斯堡七桥问题，可以简单理解为在上图中从任一起点出发，经过每条边一次并回到起点。

　　诸如此类的数学思维，在我们的日常生活和工作中，完全可以派上用场。

　　最后，总结陈词。

　　数学作为人类思维的表达形式，反映的是人类缜密的思维、对自然科学的进取之心等极端美好的人格特质。

　　它值得我们多花些时间和精力去了解、去瞻仰、去学习、去探索，甚至是补全。

　　.S.

　　我读书有个习惯，遇到一本觉得特别棒的书，会注意记录作者在这本书中提及的其他书。

　　吴军博士在 《数学之美》中推荐了两本书：《从一到无穷大》，一本介绍宇宙的科普读物。《时间简史》，同样是一本经典的科普读物，用最简单的语言把宇宙学原理讲得很透彻。

　　啊，科普作家真的是最一群最可爱的人。

　　他们总是有办法深入浅出地把大道理讲给外行听，用很简单的比喻就能将领域内最深奥的道理说得很清楚。

　　《数学之美（第三版）》读后感(八)：码农分为两类：看过《数学之美》的与没看过的

　　

引言

《数学之美》这本书从第一版到目前最新的第三版，累计销量已愈百万册。我没有统计过，在这些读者人群有多少是职业码农。但这本书对于码农们来说，其重要性怎么强调都不为过。就说不管哪个“码农必读书单”吧，《数学之美》是必在其中的，甚至都在前三之内。

　　坦白说，我的码农职业生涯也可以分为两个阶段：读了《数学之美》之前与之后。很惭愧地说，作为一名码农，我的数学水平其实很一般，在学校里也就是及格的水准。所以可想而知，虽然喜欢编写程序，但做的东西就像“凑合”出来的一样，有着一股子山寨味儿。

　　在职业瓶颈期的时候，总觉得哪儿不对劲，却又不知道问题出在哪里。直至看过吴军老师所著的这本《数学之美》，才恍然明白，原来是工作中忽视了数学的思维训练。很难说我看完这本书之后，立马就有了脱胎换骨的转变。我仍然需要时刻提醒自己，在工作中注意运用数学的方法，而不是一上来就蛮干。

　　对于视数学如洪水猛兽的人来说，看见一本书的书名里有“数学”二字，恐怕拿起翻开封面的勇气都没有。但我要告诉各位的是，《数学之美》其实相当通俗易懂，甚至这才是它能够如此畅销的原因。这并不是一本讲述纯数学理论的书，它以一种深入浅出的方式，讲述了计算机科学领域中的经典问题与解决方法。

　　我希望，没看过的码农们真的要细读一下这本书。

吴军与《数学之美》

　　吴军老师写作《数学之美》的契机，是早年他还任职于谷歌公司时，为了向中国的IT界普及自然语言处理与搜索领域的专业知识，而撰写的一系列专栏文章。没想到，这些浅显易懂的技术文章在中国一炮而红，众多迷茫中的码农由此摸着了技术进阶的门道，在职场生涯中迈过了一道道坎。

　　看过吴军老师其他著作的朋友们都知道，他的写作风格是内容平易近人，语言生动流畅。这大概和吴军老师跨界发展的经历有关，他的文章中既有学者式的严谨，又有着故事性的趣味和精彩。

　　我就曾经向身边文科出身的朋友大力推荐吴军老师的书，他最开始皱着眉头说：“IT专业的书，我怕看不懂啊。” 我的回答很简单：“你就打开书把第一章看完就行了，看不下去随时可以放弃。” 结果不用多说，文科的朋友都一发不可收拾地入了坑。

　　吴军老师早年就读于清华大学，就是在那里，他打下了深厚的数学功底。后来他留学美国约翰·霍普金斯大学，潜心钻研计算机科学。本来他的志向是成为一名计算机科学家，所以他花了大量时间用在学习数学知识上。

　　后来我们知道，吴军老师毕业后选择进入谷歌公司，从事自然语言的搜索工作。在那里，他做的更多的是工程技术的工作，但因为良好的数学素养，使得他在技术研发中可以更快更好地完成工作。

　　所以，他同时具备扎实的数学理论水平与丰富的工程实践经验，这为他写作《数学之美》打下了坚实的基础。由此，吴军老师从仅有业内人士才了解的专家，成为了整个IT界的瞩目之星。

认识数学

　　经历过高考的诸位同仁，从书山题海中杀出一条血路，考上大学，学业有成，直至进入社会开始工作。回头想想，好像就再没应用过那些个抽象的符号和公式，去解决实际工作生活中遇到的问题。难道学习数学的作用只是为了应对高考这一件事情吗？

　　我们不禁要问，数学到底是干什么的？或者说数学究竟有什么用处？

　　其实吴军老师在清华上学的时候，面对那些抽象枯燥的数学理论，心里头也犯过这样的嘀咕。但当他后来留学美国，进入谷歌公司工作，在解决各种工程现实问题的时候，是数学这种工具帮助他优美地解决了一个又一个难题。

　　例如，余弦定理就是一个高中数学中的基本内容。这个定理简单到在高考试卷中，都不会让你去简单的计算结果，而是要和其他条件放到一起去出题。但谷歌推出的新闻分类服务，就是基于余弦定理做的。当我看完书中这一章时，惊叹于数学工具在信息技术领域的强大作用。有兴趣的朋友们可以阅读书中第14章“余弦定理和新闻的分类”相关内容。

　　吴军老师认为，数学是对我们这个现实世界的高度抽象，是简洁到无法再删减的表述。在人类早期，数学还是和现实紧密相联系的，在后来随着符号和数字的发展，人类对于数学的思考越来越抽象化，进入了纯理论化的研究。数学家就给人留下了高深莫测的印象，并且还说着深奥难懂的话。

　　黎曼几何在1845年被提出，但当时谁也不知道这个理论有什么用途。直到70年后，爱因斯坦在研究相对论时，以黎曼几何为工具，很好地表述了他对时空关系的思考。

　　所以，数学从本质上来说，是我们用来探索、发现这个世界的最好工具。

信息论的启示

　　作为一名工作多年的码农，在阅读信息论相关的章节时，可能对我来说是收获最大的。信息论的创立者是香农，在计算机科学的发展历史上，他的贡献可以说是与阿兰·图灵相当。

　　信息论中一个最关键的概念就是“信息熵”。熵这个字来源于热力学第二定律，即孤立系统的熵永不自动减少，熵在可逆过程中不变，在不可逆过程中增加。它表示的是一个系统混乱的程度，在信息论中，则是指信息不确定性的程度。

　　由这个定义的简单描述就可以看出来，要想消除系统的不确定性，就必须引入足够多的信息。这引发了我在工作上的思考，即要想构造一个功能强大，且高可用的软件系统，指导我的原则是什么？

　　一个不稳定、总出bug的软件系统就是有太多的不确定性，也就是说即使对开发者来说，它也像一个黑盒一样。造成这个后果的原因，有技术上的，也有管理上的。例如，前期需求调研不明确的情况下，就匆忙设计、开发实现。在构建的过程中，不严格遵守约定，为了赶工期而省略掉不少步骤。到最后得到一个充满隐患的系统，上线就出事故。

　　从信息论的角度来看，要避免这类问题，最好的办法就是把软件开发中的每一个步骤都落到实处。当然，现实中的情况是，老板永远拿着鞭子在赶，客户的投诉电话一直在催命。这需要我们为此做出最大努力去沟通，让信息充分地被共享，这也是符合信息论的做法。因为老板和客户也都有各自的不确定性，当信息对等时，消除了不确定性，事情反而会变得顺利起来。

　　码农们的性格可能偏内向多一些，习惯于交待什么事就去完成。如果被压迫得紧了，就想着大不了撂挑子走人换个槽。但换个环境也许并不一定会更好，工作方式不改变，不做更多的沟通交流，只不过又延续着过去的痛苦。

　　所以，在软件开发工作中，也要注重消除不确定性，这样才能事半功倍。

在边界内做事

　　《数学之美》中另一个让我深受启发的内容，便是最后一章“数学的极限”。这里面所说的，就是数学并非是万能的工具，它能解决的，也仅是我们这个现实世界中一小部分问题。

　　这可能与科技的快速发展带给我们的印象不同，我们更可能认为现代科学是无所不能的。诚然，对于可计算且工程能实现的问题，计算机能够做得又快又好。就好像下围棋这项智力游戏，人类已经不是机器的对手了。但我们这个世界并不是非黑即白的，仍然有许多问题不要说怎么计算，甚至连有没有答案都不确定。

　　例如，书中所提到的希尔伯特第十问题就是，最后它被苏联数学家尤里·马蒂亚塞维奇证明，除了极少数特例，在一般情况下，无法通过有限步的运算，判定一个不定方程是否存在整数解。这个证明的冲击在于数学之外，它说明数学不是万能的，我们的所知相比于未知来说，真的是太微不足道了。

　　所以，做事情时明确知道边界在哪里，才不会掉到失败的陷阱里去。我们知道光速恒定，就不会幻想制造超过光速的飞行器；知道热力学第一定律，就不会浪费资源去制造永动机。这些知识还算是比较普及的，一般人不会去做这样的尝试。真正难以察觉的，是我们在工作和生活中，要知道事情的边界在哪里。

　　我之前在工作中就曾有过这种情况，为了提高单台服务器的处理能力，绞尽脑汁优化算法。但效果一直不理想，直到同事们和我一起会诊问题时，我才发现自己竟然没有将服务器的硬件性能考虑进去。说白了，我就是在做一件试图超越机器物理极限的事，这当然是注定要失败的。

　　而我还一直认为这是做事情要完美的体现，结果没有意识到边界的存在，就闹成了笑话。所以我在后来的工作中，总会先从最坏情况开始考虑，即所有资源都被占用的情况下，我还能获得多少性能的提升。这样，我确实是少走了许多弯路。

　　吴军老师对于数学极限的论述，也使我从根源上知道了为什么盲目追求完美是不靠谱的。以及后来考虑最坏情况时，工作得以顺利进行的原因。

　　我们一定要在边界内做事。

结语

　　《数学之美》第一版出版于2012年，那时业界热门的是搜索、语音识别等技术。而吴军老师供职于谷歌公司，正好参与的就是世界上最前沿的技术工作。他的数学功底、写作能力，再加上知识储备，就促成了《数学之美》这样的经典之作。

　　时至今日，人工智能、区块链技术又正当红。《数学之美》第三版中也大幅增加了相关的技术原理与实现论述，这是一本经典著作还值得去读的重要原因。例如，人工神经网络的本质，其实就是加权有向图；区块链的数学基础，来自于椭圆加密算法。仍然还是熟悉的味道，没有故弄玄虚，没有高深莫测，就是简洁、直接，直达道之所在。

　　另外，书中除了讨论很多经典问题的解决办法，以及简洁优美的算法原理，还有不少关于搜索、通信领域科研工作者的小传记。这也是《数学之美》的一个特色，而且那些人物大部分都和吴军老师在学习和工作中有过交集，读来会觉得十分生动。从吴军老师对这些科研工程领军人物的记叙和评论，我们也得以管窥当代IT技术领域发展的历史进程。

　　所以，还没有看过这本书的码农们，要赶紧行动起来了。

　　《数学之美（第三版）》读后感(九)：最棒的数字是几？看到正确答案被吓到，不由感叹数学之美

　　

《生活大爆炸》中，天才Sheldon提出了一个问题：最棒的数字是几？答案是唯一的。

天文学家Raj答道：“5318008？”

Sheldon解释道：“错误答案。最棒的数字应该是73。这是因为，73是第21个质数，而它反过来说，37是第12个质数，而它再反过来21则是构成73的两个数字，也就是7和3相乘的结果。同时73用二进制表示的结果是1-0-0-1-0-0-1，而它反过来念还是1-0-0-1-0-0-1，两者是一致的。”

看到这里，不得不感叹数字的神秘与纯粹的美感。天才数学家高斯曾说：“数学是科学的女王，而数论是数学的女王。”在数学界，有众多天才投入到数论这一暂时还看不到实用之处的领域，他们的唯一目的就是追求纯粹的数学之美。

数学之美！正如企业家王小川所说：“数学可以和音乐、美术一样，具有美感。康德认为数学式之所以美，在于它的合理性——合理是大脑天生的逻辑演绎系统，人人皆有。因此，当我们讨论数学之美时，不是比喻，不是人为造作，而是真的人性之感受。”

吴军博士的科普著作《数学之美》，深受读者好评，曾获得了国家图书馆第八届文津图书奖和中华优秀出版物提名奖。其实，更准确地说，这是一本介绍如何用数学公式解决计算机、信息技术领域中与人类生活息息相关问题的书籍。在这本书中，你将看到大学时期学习的离散数学中的图论、布尔代数、线性代数中的矩阵运算竟神奇般的分别解决了网络爬虫、搜索引擎和网页排名三大难题。即使是高中时期所学的余弦定理，竟然也被用来解决了计算机对新闻分类的难题。读完之后，不得不感叹数学的魅力，原来我们生活中的一切全都离不开数学。正如近代物理学之父伽利略所说：“数学是上帝描写自然的语言。”

这本书最大的特点有两个。其一，作者在书中介绍了“信息熵”这个概念，用来对信息的量化度量。《数学之美》这本由34个章节组成的书籍，除了个别介绍科学家生平与研究领域、方式的章节，横跨了30多个对细小但极为重要领域的思考，每一章都信息量满满，充满着无数个好点子。因此，绝不用担心这本书的信息量不够多。其二，作者在书中介绍自然语言处理教父马库斯之所以贡献和地位如此之高，并不是源于他自己的直接发明，而是因为马库斯对几乎所有自然语言处理领域都有独到见解，因而为他的博士生弟子指明了正确的研究方向，避免了所谓的“无谓尝试”时间。弟子都是大牛，老师马库斯地位自然不会低。这本科普书有点像马库斯的做法，书中的数学公式与技术细节并不多，更多的内容用来讲述科学家遇到问题后，对问题产生的最本质思考，以及如何运用数学解决问题的思路，其中的创新之处令人赞叹不已、回味无穷。

下面，谈一谈其中的几点感悟。

英语语法学习的思考

20世纪50年代到70年代，科学家试图用计算机算法描述语法规则来处理自然语言的理解问题，结果出乎意料的是，这20年的研究成果近乎为零。

问题出在哪里，我们不是一直通过语法书来学习语言的吗？在18、19世纪，西方语言学家对自然语言的语法规则总结已经非常完善，为何将这些语法规则输入到计算机中却并不能达到很高的准确率呢？

作者在书中给出了解答，有两个原因。一方面是因为用语法规则试图解析所有语句，到最后会出现一些矛盾现象。而为了处理这些矛盾，又必须用大量的算法说明各个语法规则的使用环境，这就会导致代码的成倍增加。另一方面，作者指出即使可以写完涵盖所有自然语言的语法规则，计算机也很难用来解析，这是因为计算机太难处理词义和上下文相关特性的问题。

虽然基于规则的自然语言处理进展不顺，但是相关的争论还是在70年代之后持续了近15年之久。直到到了90年代，更多的研究人员才相信这条路行不通。此时，自然语言处理才完成了由语法规则到统计方式的过渡。

现在，大家更倾向于相信的是：“任何语言都有语法覆盖不到的地方，总会有例外或者一些不确定性的存在。”按照数学语言的说法，那就是语言是无限和开放的集合，因此语法并不具备对语言完备的解编码规则。

回想起自己学习英语的经历，当时也犯了很多错误。学生时期，我非常倾向于用逻辑来理解，尤其是欧几里得《几何原本》中公理化的严密逻辑方式，这给我在理科的学习中带来了巨大帮助。但是，我想当然地认为语法就是英语中的逻辑，掌握好语法就能掌握好英语。

于是，我花了很大力气钻研一本语法书，但总是对书中一些不精确、逻辑矛盾的地方感到困惑，甚至我向多个老师请教，也会有一些解释不同的情况出现。有人认为是固定搭配；有人认为是理解某种底层逻辑，就能很好理解为什么是这样。各有各的说法。

即使是现在，互联网上还有类似的争论。语法书与语法书之间总有一些地方的逻辑不同；课外培训机构鄙视固定搭配，认为英语中没有所谓的固定搭配，那是老师基本功不够，纯靠理解也可以掌握所有词组；而学校的传统教育依然要求学生对词组、句型进行背诵。

吴军博士在书中拿“科学家用语法规则处理自然语言的失败”案例就是对这种现象的一种解释，我没有太多对语言学的深层次理解，不过这个科学案例让我更加倾向于相信下面这个观点：不必太纠结于语法中那些稍有矛盾和不精确的地方，学习英语应该把语法学习和广泛阅读两者相结合，而后者还更加重要一些。

好教育的畅想

吴军博士的《数学之美》这本书在每章开头都提出了很多问题，而这些问题与我们的生活息息相关，能够瞬间激发我们的好奇心与求知欲。

比如：相比于英语这种罗马拼音式语言，汉语的输入法应该如何解决？自然音节编码输入？还是偏旁笔画拆字输入？输入法输入汉字需要同时考虑每个汉字的平均击键次数和寻找这个键所需时间，那么如何平衡二者？如果只考虑平均击键次数，这确实可以缩短输入时间，但是这与我们的思维模式相同吗，是否会有一些阻碍？据说当时有3000多种中文输入法出现，如果要占领市场，你会选择哪种中文编码方式？为什么曾经火爆的五笔输入法，现在几乎全军覆没？

相比于解决问题，好的教育更应该鼓励提出问题。正如互联网上流传的这样一种说法：好的学生善于解决问题，而聪明的学生善于找到重要的问题。

另外，读过吴军博士这本书的读者，很多人都发出了这样一种感叹：读了“数学之美”，才发现大学时学的数学知识竟然如此亲切，比如马尔可夫链、矩阵计算、图论、余弦定理，竟然可以解决这么多信息技术领域的问题。

国外一些网络公开课的结尾总会有很多延伸阅读、推荐阅读的文章，这恰恰可以把学生从独立知识的理解引入到多个层面，大大加强了知识与知识之间的联系。

好的教育本该如此，这本书中的单个章节如果加入到相应的数学章节作为延伸阅读补充，想必会有不一样的效果。

结语

数学不仅有纯粹之美，数学应用依然很美。你觉得呢？

　　《数学之美（第三版）》读后感(十)：买菜时用得到数学？还真是！数学用在各个方面：计算机、新闻推送

　　

对于很多数学专业的来说，肯定听过这样一句调侃：学数学有什么用？买菜时也用不上微积分啊！

其实买菜还真用得上微积分，比如现金的制作靠的就是微积分；扫码支付这一过程，通过基站、互联网、手机的传送，用的也是微积分。

即使你每天刷抖音、快手看到的新闻信息，背后也是靠数学算法推送给你；每天用到的搜索，底层也是数学。

甚至大家都知道的余弦定理，竟然应用在我们的新闻分类中！

吴军博士的《数学之美》作为一本数学科普书，没有艰难晦涩的公式符号，却从数学如何影响我们现在的生活，数学家背后有什么样的趣事写入书中。书中虽然涉及到马尔科夫链、矩阵、熵等概念，但读过内容的人发现，会很快将这些内容读懂。

书中涵盖了自然语言处理的过程，比如统计语言模型、分词、熵等，也涉及了现下最热的区块链内容，还有应用广泛的算法，比如贝叶斯网络、期望最大化，甚至是神经网络都有涉及。

作为算法从业人员，读这本书会从另外视角感受数学的魅力。

这本书的内容，即“数学之美”系列文章，原刊载于谷歌黑板报，获得上百万次点击，得到读者高度评价。

吴军博士毕业于清华大学和美国约翰·霍普金斯大学，曾任职于Google和腾讯，对自然语言处理十分熟悉，领导了Google自然语言处理和自动问答等研究型项目。在腾讯，负责搜索、街景地图等项目。

他丰富的工作经验，和扎实的数学基础，以及幽默的故事写作方法，促成了这本《数学之美》的畅销。

奇妙的数学思维

现在特别火的大数据、人工智能，涉及最多的除了代码，就是底层数学内容。吴军博士从事多年自然语言处理工作，这本书有相当大篇幅讲了自然语言处理的前世今生。

从1946年现代计算机出现开始，就有人问机器能不能懂我们所说的话？发展到现在的人工智能时代，答案是肯定的，否则我们就见识不到翻译、语音识别这种产品了。

但在最初的时候，大家不知道怎么让机器来理解我们的自然语言。首先就是我们所讲话的歧义性。

对“苹果”一词，在不同场景下，意义就不同。“比如我今天吃了一个苹果”和“今年新一代苹果四千块钱起”。相信大家都知道第1句话里面的苹果是我们说的食物，第2个是我们说的苹果手机。

如果让机器理解这些内容的话，该如何解决这种歧义性？按照我们的理解，想要明白某个词的含义，要通过上下文来理解。

如果想要用数学的方式表达出来，数学家加里尼克就觉得这个词的释义是否合理，就看它的可能性大小。这里的可能性就可以用数学上的概率衡量。

对于某个词出现的概率，我们需要知道在前面词出现的基础上的概率。如果一句话很长，或者是一篇文章，当衡量最后一个词时，可能达到成千个条件概率，那可能就没法估计了。

有个俄国数学家，马尔科夫就使用了一种偷懒的方法：对每个词，我们只衡量当前词在前一个词的基础上的概率。这样就大大简化了问题的难度。

从这里就可以看出数学的美妙之处，他把很复杂的问题变得很简单，用简单的数学模型解决了复杂的语音识别、机器翻译的问题。

数学的简单之美

说到计数，很早之前，我们没有如此完善的计数系统。最初可能3之后就是“数不清”了。后来发展成十进制，也是因为我们有10个手指头，通过掰手指的方式发展成了十进制。

到目前为止，相信没有比二进制更简单的计数方法了，二进制只有0和1两个数字。

布尔是19世纪英国的一位中学数学老师，在他生前没有人认为他是数学家。布尔喜欢在工作之余阅读数学论著，思考数学问题。他著作的《思维规律》这本书中，展示了如何使用数学方法0和1解决逻辑问题。

也就是我们现在熟悉的与非或——1表示真，0表示假，“与”运算时，两个相同则为1，不同则为0。

如今看来如此简单的运算，当时很多人问这么简单的理论能解决什么样的问题呢？在布尔在该书提出后的80多年确实没有什么应用，直到1938年香农在他的硕士论文中指出：用布尔代数可以实现开关电路，人类用一个个开关电路，最终搭建出了电子计算机。

作为相关从业人员，对吴军博士在《数学之美》中提到的这段话深以为然：正确的数学模型在科学和工程中至关重要，而发现正确模型的途径常常是曲折的。正确的模型在形式上通常是简单的。

美国工程院院士阿米特·辛格博士也认为，好的算法应该像AK-47冲锋枪类似：有效，可靠性好，杀伤力大且简单操作。吴军博士在Google时与辛格博士合作，要研究网络搜索中的作弊问题。

最初想要搭建一个力求完美的模型，到落地差不多要花上3、4个月的时间，辛格认为找个简单有效的办法就行。他们一两个月就做成了一个版本，将作弊数量减少了一半。

辛格博士总是能找到简单有效的方法，不是靠直觉也不是撞大运，而是靠他丰富的研究经验。他对搜索的细节进行仔细研究，这些简单的方案常常是去伪存真的结果。

所以想要简单有效的方式，背后的付出不是更少，而是更多。只有掌握了搜索的本质和精髓才能永远游刃有余。

非数学式的讲述方式

读完吴军的这本《数学之美》，让我有种恍然大悟的感觉，得益于他善于讲故事的思维，以及他的扎实理论基础。

作为一名数学领域的大咖，算法工程师，他的著作并不晦涩，相反他用一种朴实有趣的语言，将这些难懂的内容描述出来，特别引人入胜。

无论是在学习还是工作中，大家应该都有遇到这样的情况：如果用自己的语言来讲，对交流的双方都有益；如果使用太复杂的描述方式，让人感觉不好接受，太难懂。

尤其是对接业务方时，如果用纯数学的讲解方式，他们肯定一头雾水，也无法对自己的结果进行合理评判，无法推进业务。

吴军博士在《数学之美》中讲解了一个特别重要的概念——信息熵。他首先抛出一个有趣的问题，如何衡量有50万字的《史记》的信息量？

一条信息的信息量和它的不确定性有直接关系。比如说，如果我们想要讲出一件非常不确定的事，或者是了解一无所知的领域，我们所需要的信息就很多；如果我们已经了解了某件事的大部分内容，那需要一点信息就够了。

那该如何度量呢？吴军使用了一个想要猜出某场球赛的胜方为例，形象地描述出想要获得谁是获胜方这条信息，他需要5块钱。类比到信息中，将钱换成了“比特”这个信息领域的概念。

慢慢地带大家了解信息的度量方式，信息熵的概念由来。比教材中冷冰冰的公式有趣的多，也让人理解得多。

李开复这样评价这本书：现在的社会多了一点压力和浮躁，少了一点踏实和对自然科学本质的好奇求知。吴军的这本《数学之美》真的非常好。非常希望吴军今后能写出更多这样深入浅出的好书，它们会是给这个社会和年轻人最好的礼物。

《数学之美》这本书不仅只是给理科生写的，不仅程序员看得懂，只要你想了解数学的应用，自然语言处理，都可以读一下这本书