几何原本经典读后感有感

　　《几何原本》是一本由[古希腊]欧几里得著作，江西人民出版社出版的平装图书，本书定价：78，页数：480，特精心从网络上整理的一些读者的读后感，希望对大家能有帮助。

　　《几何原本》读后感(一)：封面设计好看

　　买这本书完全是因为设计。内容都是高中学过的数字定理的论证过程。几千年前的科学家真厉害。整个古希腊数学的成果都在这本书里。如果认真读，不仅能了解数学知识，还能体会到背后的哲学思想。也能理解人类对空间的认识。

　　当然，这也是一本讲出逻辑演绎本质的书。推荐给想训练逻辑思维能力的朋友。欧几里得真是个天才。

　　以上。

　　《几何原本》读后感(二)：江西版与江苏版的比较

　　我一度想退掉这本书，因为这本书有一种奇怪的臭味，这种气味与我其它一千多册藏书都不同。但最后我还是留下了这本书。我没有译林出版社的《几何原本》，只有江苏人民出版社的《几何原本》，译者燕晓东。网上对燕本评价不一，普遍认为有一些错误（经我对照，确实存在）。在此，我对比一下燕译本和张译本的区别。在张译本中，每个公理公设定义和命题，都有英文原文（这也是我留下的原因），如果对名词有困惑，可以自己再查字典，这是这个译本的最大优点。张译本另一个优点是逐字的翻译，非常精确，看得出译者确实很认真，希望成就经典。而燕译本，则有一些废话，一些错误，如公设一“过再点可作一条直线”，懂五笔的都知道这是编辑用五笔的锅，把“两”打成了“再”，但气愤的是燕译本再版了十次也没修正这种简单错误（张译本此公设译为“从任一点到任一点可作一条直线”，英文原文为to draw a straight line from any point to a point，显然更精确，但燕译本也并不至于让人不懂）。不过，燕译本有其独到之处，那就是多种注解。有些读者很讨厌这个，但其实，很多注解都很好。举例来说，定义9，张译本译为“且当夹这个角的线是直线时，这个角叫作直线角”，看得我一头雾水，燕译本译为“含有角的两条直线成一条直线时，其角成为直线角（现代称为平角），这就一目了然了，因为我们的教材中就叫平角。再举一例，命题一证明后，燕译本注解提出，C点为什么存在？这也是我所疑惑的，凭什么两个圆会相交于C点呢？张译本没有注解，仅仅只是做了最直接的翻译。总的来说，我认为燕译本，倒更适合做拓展思考。两本书可以也应该同时保留。

　　《几何原本》读后感(三)：读家教练Ⅱ级

　　〖树评〗

　　“双语高分高能”5分钟即兴/备稿演讲示范，702字 《几何学家》 世界充满了意想不到的连接。 一个新的概念往往根植于旧的概念， 但又给人以新的视角来审视旧的概念， 并且加深人们对旧概念的理解。 类比的精髓在于 把一个心理结构 映射至另一个心理结构。 就像打乒乓球， 你在球台一侧所找到的每一个发现 都可以反弹回去， 并在球台另一侧找到相对应的发现。 如爱因斯坦的广义相对论， 弯曲的概念不再局限于空间， 而被扩展到时间的维度。 “弯曲的时间”思想显然是 在挑战人类想象力的极限。 并包含了多组类比： 1,引力场和加速参照系之间的类比， 2,单一力学和整体物理学法则之间的类比， 3,旋转参照系和二维非欧几何之间的类比， 4,二维和四维非欧几何之间的类比。 类比为爱因斯坦提供了关键性线索， 提供了用数学方法处理引力的工具。 数学在欧几里得那里脱离了感应， 在物理学理论形成四个相续阶段： 一，选择简单可测量的物理性质， 用数学符号加以表征。 二，用少数原理把不同种类的量连接起来。 三，按照数学分析的法则 把不同原理结合在一起。 四，由这些原理推论出来的结果 将被翻译为可与实际测量相比较的判断， 并与实验定律进行比较。 物理学理论是从少数原理 推演出的数学命题的体系。 定性的自然哲学改善理解， 定量研究得到的则是公式。 公式不是对现象的解释， 而是采用一种新的语言 重新对现象背后的规律进行描述。 在实证科学内部， 当理论替代理论， 范式推翻范式时， 数学关系经久长存。 大自然符合数学规律， 而上帝就是几何学家。 几何学家运用一长串 简易推理完成艰难证明。 数学推论的长程有效性 由规则支配的形式程序替换实质演绎， 从而能进行漫长的推理而不失真。 数学推论就像晶体阵列， 晶体一端的原子的位置 决定了晶体另一端原子的位置， 即使相隔上百万个原子， 这种决定关系仍然有效。

　　《几何原本》读后感(四)：欧几里得《几何原本》精美全新译本，你值得珍藏

　　也许你并未阅读过欧几里得的《几何原本》一书，但你的思想必定受其影响。毫无疑问，现如今任何知识体系都在借鉴欧几里得的公理化思想，即使初高中数学、物理课本也有欧几里得的影子。

　　简单的说，《几何原本》的书写结构清晰明了，它是由定义、5个不证自明的公理、5个不证自明的公设来严格证明一系列由易到难的命题。其中高阶命题除了用定义、公理和公设之外，还可以把已经证明了的低阶命题当结论使用。

　　全新译本的《几何原本》有何特色呢？

　　1、这个版本的欧几里得几何在尽可能回归历史，运用古人的定义，来体会古人的思想，而不是完全沿用现如今的定义。这样做的好处不言而喻，可以完美呈现出欧几里得的整个体系以及他的思考方式。

　　你在阅读时，似乎在与比你聪明百倍的智者对话，虽然言语有一些阻碍，但思想则畅通无阻。比如：按照现在的定义，直线是无限延长的，而希腊人所说的直线是有限的，因此书中并没有直接把“直线”译作“线段”，而是在旁边做了解释。

　　2、书中标示出了一些由后人书写上去的命题与证明，与欧几里得原著无关。这样做是对作者的尊重，也是在向作者致敬，完善一些好玩的新命题。

　　3、书中标示出了个别欧几里得未使用的定义，绝大多数人认为这是后人伪造的。毕竟没有人相信一个写出如此逻辑严密，影响世人2000多年的智者，会犯这样低级的错误。

　　4、书中有个别错误的证明，后人给予了正确证明并做了标示。作为受欧几里得影响2000多年的现代人，指出书中的一点点错误并修正，是为了将《几何原本》的思想完美传给现代的有缘人。此书太具备开创先河的意义，没有人在意这一点点瑕疵。

　　5、制作精美，看见它你会爱不释手的。

　　《几何原本》的意义：

　　欧几里得《几何原本》提出的纯粹公理化演绎结构和严格的证明为数学、自然科学等领域产生了极其深远的影响。只要公理、公设正确，就可以推导出很多直觉无法轻易看出但结论绝对正确的复杂理论。

　　《几何原本》影响：

　　受欧几里得《几何原本》影响的科学家、数学家、哲学家有哥白尼、开普勒、牛顿、爱因斯坦、伽利略、霍布斯、斯宾诺莎、怀特海和罗素等。其中大名鼎鼎的牛顿在书写《自然哲学之数学原理》一书时就运用的是欧几里得几何证明形式。

　　我相信并不是每个科学家、数学家、哲学家都完整阅读与证明了书中的每个命题，但他们必定从部分命题的证明中获得了乐趣，并且无一不赞叹欧几里得的天才构思给后人指明的新方向。

　　《几何原本》读后感(五)：知道欧几里得的“欧氏几何”还不够，还要知道“非欧几何”

　　代数、几何是数学的两大分支。用一句话来说明的话，研究“数”的部分是代数学的范畴，研究“形”的部分是属于几何学的范畴；当然，此外还有联结形与数且涉及极限的部分也就是分析学，这三者构成整个数学的核心。初中时期起，学生所学的数学基本不出代数与几何这两大分支。

　　说到学几何，往前推到公元前4世纪左右，欧几里得这位古希腊伟大的数学家和他的十三卷的《几何原本》是无论如何都不应该错过的。在这本书里，欧几里得着手处理了一些人们公认的一些几何知识，并在基础上研究了图形的性质，推导演绎出了若干定理。因为书是欧几里得写的，所以他的几何就被称之为“欧氏几何”。

　　几何以姓氏来命名，确实是长见识了，尤其也可以看得出来，欧几里得在几何学上所取得的集大成者般的成就，确实非同凡响。不过，由这个命名也带来了另外一个疑问：既然有“欧氏几何”，是不是也会有其他什么氏的几何呢？

　　答案也确实是肯定的。除了“欧氏几何”，确实也还有“非欧几何”的存在。这个“非欧几何”，也就是非“欧氏几何”的意思——不是一种，而是几种，罗氏几何和黎曼几何都属于“非欧几何”。“非欧几何”的由来，是为了解决欧几里得在《几何原本》中提出的“5公设”的第五条，即“一直线与两条直线相交，若在同侧的两内角之和小于两直角，则这两条直线无定限延长后在该侧相交”而来的。

　　第五条公设说的是几何史上著名的“平行线理论”。在多数人常规看来，两条平行线自然是不会相交的。但创立了“罗氏几何”的俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基经过推理却发现，第五公设无法被证明。最终，罗巴切夫斯基收获收获了一门新的理论几何学——罗巴切夫斯基几何，也就是“罗氏几何”。这是第一个被提出的非欧几何学。

　　除了罗巴切夫斯基，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设的不可证明以及“非欧几何学”的存在。不过当时鲍耶·雅诺什的处境并不乐观——不仅社会上一片冷言冷语，家里人也不支持他，即使是同样身为数学家的父亲也认为研究第五公设完全是劳而无功的事情。当1832年鲍耶·雅诺什的研究结果终于得以面世的时候，他只能发表在父亲的一本著作的附录里。

　　除了鲍耶·雅诺什，被称为“数学王子”高斯也曾发现了第五公设的秘密，并且开始研究非欧几何，但他没敢公开发表自己的研究成果，更别提站出来公开支持罗巴切夫斯基和鲍耶。直到1854年德国数学家黎曼又提出一种新几何学也就是“黎曼几何”。

　　“罗氏几何”认为平行线是可以相交的，它和“黎曼几何”的区别就是三角形内角和比180度大还是小这个问题。在“罗氏几何”中，三角形的内角之和小于180度；而在“黎曼几何”中，三角形的内角之和大于180度，并且不能作直线与已知直线平行。

　　不要觉得“罗氏几何”“黎曼几何”这些“非欧几何”不好理解到了匪夷所思的程度。事实上，想一想爱因斯坦的相对论对于牛顿的经典力学的颠覆性改变，也就能理解“罗氏几何”“黎曼几何”这些“非欧几何”的存在的价值了。欧几里得的“欧氏几何”解决的一般情况下的几何问题；而“非欧几何”成立所需的约束条件是不同的。可以这样来理解，经典力学中的绝对时空观正好对应了欧式几何学的平整不变空间；而“非欧几何”中的空间则是相对变化的，正好对应着爱因斯坦所提出的引力扭曲空间的论断。爱因斯坦在1915年引用黎曼几何来描述他的广义相对论空间，终于获得了巨大成功。

　　普通人应该来如何理解“非欧几何”呢？也有一个简单的办法。找一个地球仪，找到0度和随意一根经线，再找到一根纬线，三线维出的三角形，其内角和一定大于180度。还有平行线必相交的问题，比如地球上赤道处的经度线，在赤道处是平行的，在两极却是相交的。

　　《几何原本》读后感(六)：听上去很美的数学，原来读起来也如此有趣

　　【原创】文/捷Jesse

　　1607年，来到中国耶稣会士利玛窦与明朝士大夫徐光启共同翻译的《几何原本》在北京刊印发行，“几何之学”作为新知识、新学科、新思想，对明清以来的中国数学乃至中国社会都产生了深远影响，同时也传播到同属汉字文化圈的日本、朝鲜等地，堪称中西文化交流史上的光辉典范。

　　时光回到大明万历二十八年，即公元1600年，顺天府解元徐光启来到南京，在座师焦竑家中见到利玛窦，两人非常投缘并成为好友。1604年，徐光启考中翰林庶吉士后开始着手和利玛窦合作翻译《几何原本》。

　　整个翻译工作由利玛窦口授、徐光启笔译而成，自1606年秋至次年5月，共完成了《几何原本》前6卷并付梓印刷。然而，没多久利玛窦就去世了，翻译工程戛然而止。直至二百多年后，清代数学家李善兰和英国传教士伟烈亚力接力，才完成了全书后9卷的翻译工作，可谓一波三折。

　　现今市面上流传的《几何原本》译本品种繁多，以兰纪正和朱恩宽版本为佳。我们现在手上拿到的这本《几何原本》译本，是由清华大学科学史教授张卜天重新译制，并附有原书各卷中的英译文，便于对照学习。就让我们跟着这本“大厚本”来领略数学几何的神奇魅力吧。

　　点、线、面、体，几何学的公理化体系

　　所谓公理化方法，就是选取少量原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，然后运用逻辑推理来证明其他命题。在数学学习过程中，几何学知识从未离开过“点、线、面、体”，这些概念构成了我们对“几何”认知的基础。借着《几何原本》的阅读，也让我们重新来回顾这些简单的几何学概念以及我们学习数学的过程。

　　“点”是无法被定义的，它是数学系统中的原始概念，是最简单的形，是几何图形最基本的组成部分。欧几里得最初含糊地定义“点”作为“没有部分的东西”，使得“点”在欧几里得空间中只有位置没有大小。“线”是点沿一定方向任意移动所构成的图形，是点运动的轨迹、面运动的起点；“面”是无数线条组成的图形；“体”是由无数的面构成。

　　回顾我们从小到大接受的数学教育和数学思维训练，无疑也是沿着《几何原本》的体系展开。初中时，我们学习的三角形知识、直线的平行与相交，相关内容基本都在《几何原本》第一卷中；之后学习的数、式的运算，与《几何原本》第二卷的代式恒等式，如二项和的平方、黄金分割等契合；第三卷讲到的圆、弦、切线与圆的关系，第四卷讲到圆的内接、外切三角形等，这些都在初二的几何课程中有所涉及。

　　《几何原本》的第五卷讲的是比例，第六卷讲的是比例理论在平面图形的应用，这都是我们初中学到的相似图形、四边形和多边形知识。随后几卷的内容，也同高中的数学体系相互呼应。因此，在初等数学的学习过程中，我们基本都是依循着欧几里得的数学体系前行。即使是高中时期的立体几体，也都是基于“经过不在一条直线上的三个点，有且仅有一个平面”的公理。

　　从拓扑维度上来看，点是0维对象，线是1维对象，面是2维对象，体是3维对象。正是点、线、面、体构建了几何学的基础，形成了我们丰富多彩的世界。

　　定义、公设、公理、命题，逻辑严密的数学系统

　　欧几里得在《几何原本》的卷首提出了五条公理、五条公设，并在各卷开头共给出了二十三个定义，并根据这些公理、公设、定义用严格的逻辑推论方法推导出多达四百六十五个命题，将它们分门别类地组成了全文的一十三卷。各卷开头皆从几何图形开始，推理逻辑极其严密，令人惊叹。

　　《几何原本》在卷首列出了五个公理，分别是：

　　→等于同量的量彼此相等。即，如果A＝C，B＝C，则A＝B。

　　→等量加等量，其和相等。即，如果A＝B，C＝D，则A＋B＝C＋D。

　　→等量减等量，其差相等。即，如果A＝B，C＝D，则A－B＝C－D。

　　→彼此能重合的物体是相等的。

　　→整体大于部分。

　　随之，欧几里得又给出了五个公设，分别是：

　　→由任意点到任意另一点可作直线。

　　→一条有限直线可以继续延长。

　　→以任意点为圆心及任意距离为半径可以画圆。

　　→凡直角都相等。

　　→平面内一条直线与另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内解之后小于180°，那么这两条直线无线延长后，在这一侧一定相交。

　　上述定义、公设、公理层面引出的命题与论证过程，展现了完整的数理性逻辑演绎，也体现了古希腊人的哲学与文化。众所周知，数学理性起源于古希腊，形成于西方文艺复兴，本质上是受三段论影响，达到了“接受已知，就要接受结论”的独特需求。

　　在中国，数学理性和应用的代表作有《九章算术》等，相比来看《九章算术》更注重实用和结果，也体现了东方的文化特色。在精神财富层面上，《九章算术》是观察—实验—归纳—分析—概括的数学研究方式，而《几何原本》则是定义—公理—定理—例题的数学研究方式。

　　同样是数学巨制，却有着如此迥异的研究方法，与当时的社会背景有关。《九章算术》跨度广，是春秋至秦汉千年时间内社会生产知识积累的汇总，全书的246题涵盖方田、黍米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节内容，包含了当时数学的所有分支。

　　有趣的是，《九章算术》的一些算法连《几何原本》中都没有。可以说《几何原本》与《九章算术》互为长短，毕竟《九章算术》以实用性、计算性、丰富性为优点，而《几何原本》则以几何、数论、逻辑性著称。通过对比，也间接印证了《几何原本》的逻辑严密性。

　　平行体系之外的挑战，让非欧几何成为高级补丁

　　对于欧几里得设定的系统中，公设五又被称为平行公设，其延伸就是我们常见的“平面内，三角形内角和为180°”“过线外一点，恰有一直线与已知直线平行”等通俗提法。然而，平行公设就是对的么？有没有例外呢？

　　人们在地理探索时发现，地球的赤道、0°经线和90°经线相交构成一个“三角形”，这个“三角形”的三个角都是90°，然而，它们的和就是270°。这就是用欧几里得无法解释的典型案例。后人研究几何学时，逐步形成了罗氏几何和黎曼几何等等。

　　罗氏几何是俄国数学家罗巴切夫斯基、德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶在同一时期研究的，因罗巴切夫斯基工作最典型、影响最大而命名。他提出：过平面上直线外一点可作无数条直线与该直线不相交。1854年，高斯的学生黎曼提出了另一种公设：过平面上直线外一点所作出的任何一条直线都将与该直线相交。

　　罗氏几何、黎曼几何与欧氏的《几何原本》中的三条“平行公理”相互补充，被称为几何学的“三兄弟”，其中欧氏几何又称为抛物几何，罗氏几何又称双曲面几何，黎曼几何又称椭圆几何。欧氏几何适用于描述宏观世界的空间几何性质，罗氏几何和黎曼几何适应于描述大尺度宇宙以及微观世界的几何性质。爱因斯坦在相对论中使用的就是黎曼几何。

　　1858年，德国数学家莫比乌斯和约翰·李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有正反两个面，且可分别涂成不同的颜色；而这种纸带只有一个面，一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这也是欧氏几何无法直接解释的问题，成为拓扑学的一个典型图案。

　　…

　　正是这些神奇的数学为我们的生活增添了诸多光彩和乐趣。回归到数学阅读，我们可以把对数学的学习从答题、知识点的学习扩展到问题来源及应用前景的分析与展望，让数学跳出生活又回归生活，进而推动人类文明的进程。

　　《几何原本》读后感(七)：欧氏几何，培养、提高逻辑思维能力最好的启蒙教材之一

　　2010年，电影《盗梦空间》横空出世，导演克里斯托弗·诺兰再次以他“烧脑”式的想象力和逻辑，为全球影迷带来一次视觉盛宴。全剧讲述了一位能够在人熟睡之际侵入他人梦境之中，窃取并尝试改变梦境的商业间谍的自我救赎之路。影片剧情游走于梦境与现实之间，被定义为“发生在意识结构内的当代动作科幻片”。

　　整部剧跟那些梦境拍得很虚幻的电影不同，剧中的梦境里的建筑空间无比现实直观，甚至和真实世界毫无二致。有影评说，数学不好的人最好别看《盗梦空间》，例如，那些盗梦者营造出的梦境迷宫，全部都是“非欧空间”，好让对方像虫子一样跑不出圆圈。学建筑出生的导演诺兰，在片中的许多假设和想象，其实都来源于现代数学中的几何研究。

　　在几何世界中，有一本书叫做《几何原本》，在差不多2000年间被奉为学习几何的必备教材和严密思维必须遵守的金科玉律，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍。

　　01. 《几何原本》传至中国的历程

　　提起欧几里得《几何原本》，想必大家都不陌生，因为在数学书中，随处可见欧式几何的公理和定义，如：过两点能且只能做一条直线、大于直角的角叫钝角等。《几何原本》可谓公理化演绎体系的典范。然而，很多人可能对于《几何原本》如何流传到中国，以及其被翻译、传播的历程并不熟悉。

　　“几何”的原文是“geometria”，徐光启和利玛窦在翻译时，取“geo”的音译为“几何”，而“几何”二字的中文原意又有“衡量大小”的意思，这种音义兼顾的译法，可谓神来之笔。而这本书的拉丁文译本书名为Elementa，现代西方普遍沿用拉丁文译名，比如英文翻译为Elements，则是“原本”的意思。

　　《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的数学巨著。大约成书于公元前300年，囊括了从公元前7世纪至公元4世纪，400多年的数学发展历史。

　　《几何原本》最初为手抄本，19世纪初，法国数学家勒让德把欧几里得的原著，用现代语言写成了几何课本，成为现今通用的几何学教本。 直到19世纪末叶的欧洲，欧几里得几何与几何学仍然是同义词，《几何原本》的内容亦是当时中学阶段数学教育的主要内容。

　　传入中国，则要说到意大利传教士利玛窦，他于1582年来到中国，并由此掀开了西学东渐的历史大幕。经过19年的苦心经营，他采取的“学术传教”策略获得成功，并获准留居京师。

　　当深谙科学思想的重要性并不遗余力地引进西方数学和历法的徐光启，与坚持“学术传教”的利玛窦相遇后，利玛窦以《几何原本》为教程教授徐光启西方的数学理论，然后两人于1604年秋天开始，以利玛窦的老师克拉维乌斯1574出版的15卷《几何原本》为底本合作翻译了《几何原本》的中文版，并在1607年译就前6卷。

　　译完前6卷之后，徐光启兴味盎然，希望完成后9卷的翻译，但利玛窦却说“止，请先传此，请同志者习之，果以为用也，而后继其余”。却不想，此后陡生变故，徐光启回沪丁忧，三年后利玛窦在京病逝，万历皇帝钦赐墓地。不得不说，利玛窦能获此殊荣，很大程度上得益于《几何原本》的翻译。

　　也正是由于他们只翻译了其中一部分，即关于平面几何的6卷，于是他们根据所翻译的内容把中文译本命名为《几何原本》。他们的这个命名也为中国的数学增添了一个新的，对后世影响很大的名词：几何。

　　后9卷则是到了清咸丰八年（1857），由英国传教士伟烈亚力与李善兰以英国数学家比林斯利的英译《几何原本》为底本译出，至此，这部人类文化典籍在中国得以完璧。

　　02. 把几何知识整理成一个体系，一次尝试，成就一部传世巨作

1、任两点都可以用一条直线相连2、线段可以无限延长成一条直线3、可以以任意点为顶点，任意长度为半径画一个圆4、所有的直角都相等5、过直线外一点，有且只能做一条直线与已知直线平行

　　这五句话并列出现在欧几里得的传世名著《几何原本》的第一卷，是《几何原本》里的全部几何公设。欧氏几何里的全部定理，也都是从这5句话严密的推导出来的，

　　就是这5句看起来非常简单的5条公设，就是欧式几何的全部假设，从这5条假设欧几里得逻辑严密的证明了465个命题。也就是说，如果你承认最开始的那5条简单得不像话的公理，你就得没有任何异议的接受他后面证明的那465个命题，后面那些命题可能很多不是很直观，有很多甚至跟直觉常理相违背，但是它就是一个十分正确的存在，正襟危坐在那里，严密的逻辑推导足以碾压你的一切怀疑。

　　欧几里得在柏拉图学院学习的过程中，凭借着天赋和勤奋，以极快的速度，掌握了柏拉图几何学的内容，便开始思考：“现在的几何理论体系似乎已经没办法满足社会发展的需要了，我为什么不开始尝试着把几何知识整理成一个体系呢？”

　　在察觉到了几何理论的发展趋势并确定目标后，欧几里得就拿着行李，日夜兼程，赶往亚历山大城。一边勤勤恳恳的收集以往相关的数学专著和手稿，一边积极的和各个学者进行数学上的交流与探讨。并开始尝试著书立说。阐明自己对几何学的理解，把自己对于公理的选择，定理的排列以及一些严密的证明详细的阐述出来：

欧几里得的《几何原本》共有13篇，首先给出的是定义和公理。比如他首先定义了点、线、面的概念。他整理的5条公理其中包括：1、从一点到另一任意点作直线是可能的；2、所有的直角都相等；3、a=b，b=c，则a=c；4、若a=b则a＋c=b＋c等。这里面还有一条公理是欧几里得自己提出的，即：整体大于部分。

　　虽然这条公理不像别的公理那么一望便知，不那么容易为人接受，但这是欧氏几何中必须的，必不可少的。

　　公元前300年，在欧几里得孜孜不辍的努力下，终于编写完成巨著《几何原本》一书。不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论，而且通过系统整理和完整阐述，使得远古数学思想更为世人熟知。

　　后世对这部巨著 的评价非常高：

　　这是一部传世之作，它的重大意义在于把前人的数学成果加以系统的整理和总结，以严密的演绎逻辑，把建立在一些公理之上的初等几何学知识构成为一个严整的体系，而且又孕育出一个全新的研究领域--欧几里得几何学，简称欧氏几何。

　　03. 欧氏几何，培养、提高逻辑思维能力最好的启蒙教材之一

　　在《几何学发展概要》一书中，记载这这样一则故事：几何在欧几里得的推动下，逐渐成为人们生活中的一个时髦话题，以至于当时的亚历山大国王托勒密一世也想赶这一时髦。有趣的是，见多识广的托勒密国王，在学习几何学的过程中却觉得很吃力，于是，他问欧几里得：“难道没有比你的方法更简捷的途径吗？”

　　欧几里得微笑着说：“抱歉，陛下，学习数学和学习一切科学一样，是没有什么捷径可走的。学习数学，人人都得独立思考，就像种庄稼一样，不耕耘是不会有收获的。在这一方面，国王和普通老百姓是一样的。”

　　从此，“在几何学里，没有专门为国王铺设的大道。”这句话，成为千古传诵的学习箴言。两千多年来，作为欧洲数学的基础，《几何原本》被广泛认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书。

　　许多数学家，甚至科学家是在学习了《几何原本》之后才开始了他们的研究生涯。哥白尼、伽利略、笛卡尔等许多蜚声中外的学者都曾学习过《几何原本》并从中吸取了丰富的营养，从而创造出许多令世人赞叹的伟大成就。

　　据说牛顿最初对数学并没有兴趣，在读了《几何原本》之后才热衷于数学，开始了他天才的思考。爱因斯坦更是对《几何原本》给出了高度评价，“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里得几何中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）”

　　鲜明的直观性，严密的逻辑演绎方法，欧氏几何成为培养、提高人类逻辑思维能力最好的启蒙教材之一。著名科学家爱因斯坦曾说：“如果欧几里得未能激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。”

　　《几何原本》读后感(八)：张卜天：译后记

　　译后记（张卜天）

　　欧几里得（Ε？κλε？δης，Euclid，活跃于公元前300年左右）是埃及托勒密王朝亚历山大城的古希腊数学家，其生活年代介于柏拉图（Plato，前427-前347）和阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约前262-约前190）之间。他的主要著作《几何原本》（Στοιχε？α，Elements）[一译《原本》]是人类历史上最伟大的著作之一，对数学、自然科学乃至一切人类文化领域都产生了极其深远的影响。从1482年第一个印刷版本问世一直到19世纪末，《几何原本》一直是主要的数学（尤其是几何学）教科书，印刷了一千多个版本，数量仅次于《圣经》，“欧几里得”也几乎成为“几何学”的同义词。2400年来，它从希腊文先后被译成阿拉伯文、拉丁文和各种现代语言，无数人对它做过研究。

　　《几何原本》的原希腊标题中本无与“几何”对应的词，中文的“几何”二字是1607年利玛窦（Matteo Ricci，1552-1610）和徐光启（1562-1633）合译出版《几何原本》前六卷时经过认真考量添加的。目前通行的《几何原本》包含十三卷（另外两卷被认为是后人续写的），由若干定义、公设、公理、命题和对命题的数学证明所组成，其数目编号是后来的拉丁文译本所引入的。《几何原本》所涉及的范围超出了我们所理解的几何学，还扩展到比例论、数论和对不可公度量的处理等领域。学者们认为，《几何原本》在很大程度上是根据一些早期希腊数学家的著作所作的命题汇编。

　　在两千多年的时间里，《几何原本》一直被视为纯粹数学的公理化演绎结构的典范，其逻辑公理化方法和严格的证明仍然是数学的基石。它从几个简单的定义以及几条看起来自明的公理、公设出发，竟然能够推导出大量根本无法直观且不可错的复杂结论。在很大程度上，这种数学演绎也因此成为西方思想中最能体现理性的清晰性和确定性的思维方式。哥白尼、开普勒、伽利略和牛顿等许多科学家都曾受到《几何原本》的影响，并把他们对《几何原本》的理解运用到自己的研究中。霍布斯、斯宾诺莎、怀特海和罗素等哲学家也都尝试在自己的作品中采用《几何原本》所引入的公理化演绎结构。爱因斯坦回忆说，《几何原本》曾使儿时的他大为震撼，并把《几何原本》称为“那本神圣的几何学小书”。

　　《几何原本》在思想史上有双重意义。首先，它把新的严格性标准引入了数学推理，这种逻辑严格性直到19世纪才被超越；其次，它朝着数学的几何化迈出了决定性一步。欧几里得之前的毕达哥拉斯学派和阿基米德，以及欧几里得之后的丢番图都表明，希腊数学也可以沿着其他方向发展。正是《几何原本》确保了数学应当由几何形式的证明来主导。欧几里得的几何数学观的这种决定性影响反映在思想史上最伟大的两部名著——牛顿的《自然哲学的数学原理》和康德的《纯粹理性批判》中：牛顿的作品是以欧几里得的几何证明的形式写成的，康德则因为相信欧几里得几何的普遍有效性而提出了一种支配其整个知识理论的先验感性论。直到19世纪，欧几里得几何的魔咒才开始被打破，不仅不同的“平行公理”引出了非欧几何理论，而且开始出现一种对“数学的算术化”的渴望。20世纪初，随着量子力学的发展，我们在物理学中看到了一种新毕达哥拉斯主义观点的回归，认为数才是万物的秘密。如今，虽然欧几里得可能不再是唯一的权威，但他仍然是最大的权威之一。

　　公元4世纪，亚历山大里亚的西翁（Theon of Alexandria，约335-约405）制作了一个《几何原本》的版本，它被广泛使用，在19世纪以前一直是唯一幸存的原始版本。公元800年左右，《几何原本》在阿拔斯王朝的第五任哈里发哈伦·拉希德（Harun al-Rashid，766-809）治下被译成阿拉伯文。1120年左右，英格兰自然哲学家巴斯的阿德拉德（Adelard of Bath，约1080-约1152）将《几何原本》从阿拉伯文译成拉丁文。第一个印刷版于1482年问世，它所依据的是意大利数学家、天文学家诺瓦拉的坎帕努斯（Campanus of Novara，约1220 – 1296）1260年从阿拉伯文译成的拉丁文本。西翁的希腊文版于1533年被重新发现。最早的英译本The elements of geometrie of the most ancient philosopher Euclide of Megara[1]于1570年出版，它是英格兰商人亨利·比林斯利（Henry Billingsley，？-1606）从希腊文原文直接翻译的，而不是从广为人知的坎帕努斯拉丁文本转译。最早的汉译本是1607年利玛窦和徐光启合译出版的，他们所参照的底本是耶稣会数学家克拉维乌斯（Christopher Clavius，1538-1612）的拉丁文评注本《原本十五卷》（Elementorum Libri XV），但只译出了《几何原本》的前六卷。直到1857年，伟烈亚力（Alexander Wylie，1815-1887）和李善兰（1811-1882）才共同译出了《几何原本》的后九卷。1808年，法国数学家、教育学家弗朗索瓦·佩拉尔（François Peyrard，1760-1822）在梵蒂冈图书馆发现了一个并非源于西翁的抄本，它所给出的文本要更早。正是根据这个抄本，丹麦语文学家、历史学家海贝格（Johan Ludvig Heiberg，1854–1928）编辑了带有拉丁文评注的权威希腊文版《几何原本》。1908年，英国古典学家、数学史家托马斯·希思爵士（Sir Thomas L. Heath，1861-1940）基于海贝格的希腊文版，在剑桥大学出版社出版了权威的英译本Thirteen Books of Euclid’s Elements，并且附上了大量英文评注，1926年又出版了第二版。目前市面上流行的Dover版三卷本（1956年）正是这个剑桥第二版的影印。

　　希思的英译本虽然距今已逾一个世纪，但仍然是最权威的标准译本。希思深厚的古典学修养和对古希腊数学的精当理解在他那个时代就已经世所公认，至今也是如此。重要的是，今天尚没有一位研究古希腊数学特别是欧几里得的学者能够更好地重新翻译《几何原本》。一些人觉得希思的语言过时了或者难以理解，便试图将《几何原本》的文本重新改写成更符合现代读者习惯的语言，特别是，没有古代数学史基础的人往往会有意无意地用今天的概念，而不是欧几里得所理解和使用的概念来重新表述《几何原本》中的定义、公设或命题，这是不可取的。如果只是想学习一些几何学知识，问题倒还不大，但如果想知道欧几里得究竟是如何思考和呈现其体系的，那么这样做只会加深误解，使我们更加远离希腊人对几何学的看法和做法。

　　目前市面上可见的《几何原本》中译本有近十种，但真正付出过严肃认真的学术努力的版本只有兰纪正和朱恩宽翻译的当代汉语版本（1990年在陕西科学技术出版社出版，2003年修订再版，后于译林出版社重新出版），其他译本则大都粗制滥造、无甚价值。兰纪正和朱恩宽译本的底本正是希思的英译本，但并未把其中的大量评注译出。在这些评注中，希思对《几何原本》的源流和版本，每个定义、公理、公设、命题的来龙去脉，以及其中涉及的难以理解的关键术语都做了极为详细的解说，如能将这些内容全部译出，其重大的学术意义自不待言。但不译评注也并非没有好处：首先，希思的版本有三卷、1400多页，《几何原本》的不同卷次分散于三卷之中，非常不方便携带和查阅；其次，要想在希思版中从一条命题移到下一条命题，往往需要翻过若干页的评注，这使人很难找到欧几里得的原文在哪里继续，从而就欧几里得的原有体系形成清晰图像；此外，虽然希思的英译很好，但并非他的所有评注都恰当和正确。这些评注毕竟是在一百多年前做出的，随着学术的发展，其中不少内容已经过时，而且希思在很多地方也不可避免用现代的数学概念来解释欧几里得，从而产生误导。

　　兰纪正、朱恩宽版的中译本虽几经打磨，但仍然包含着不少错误。其中一些是难以避免的小错，比如字母的误抄和关键术语未统一，但也有一些错误是因为没有正确理解原文，这既包括对有些原文句子结构的错误理解，也包括我们前面所说的对几何原本做了过于现代的处理。仅以《几何原本》第一卷的定义1和定义3为例。定义1的原文是：“A point is that which has no part.”兰、朱版译为“点是没有部分的”，但其实应当译为“点是没有部分的东西”。“东西”二字的加与不加，反映了对“点”的本质定义和属性定义之别。欧几里得说的是，一个东西只要没有部分，那就是点。而根据兰、朱版译文，就好像“点”除了“没有部分”这个属性还有别的什么属性似的。定义3的原文是：“The extremities of a line are points.”兰、朱版译为“一线的两端是点”，但其实应当译为“线之端是点”，原文中并没有“两”。欧几里得说的是，“线”只要有“端”，那就是“点”，但并没有说“线”有“两”端，比如圆就是线，但圆并没有端。之所以有这样的误译，是因为天然把“线”理解成了现在的“直线段”。类似地，我也没有按照现代数学的理解把欧几里得所说的“直线”（straight line）译成“线段”，把“圆周”（circumference）译成“弧”，甚至没有把“二倍比”（duplicate ratio）、“三倍比”（triplicate ratio）译成“二次比”、“三次比”，因为在古希腊和中世纪，我们所说的“比的相乘或相除”被称为“比的相加或相减”，如果把“倍”译成“次”，虽然符合现代的理解，但我们阅读有些古代数学文献时就会一头雾水，事实上，这种误解在科学史上的确导致过严重后果。

　　基于以上考虑，我以希思的英译文为底本，不揣冒昧地重新翻译了《几何原本》的正文，并且尽可能地忠实于原文，不做过分现代的解读。我还把《几何原本》各卷的定义、公设、公理、命题题干的希思英译文附上，以方便读者对照。虽然兰、朱译本仍有不小改进的余地，但如果没有这个译本先前付出的巨大努力，我是不敢接手这项艰巨任务的。我深知，改进一个译本永远比从无到有的翻译容易得多，因此我要向兰纪正、朱恩宽两位先生的开拓性努力致以深深的敬意。我并非研究古希腊数学和欧几里得的专家，对希腊语也只知皮毛，译这部经典名著可谓诚惶诚恐，也倍感荣幸。真诚地期待广大专家和读者不吝指正！

　　《几何原本》读后感(九)：几何难而无用？错！《几何原本》告诉我们几何大有所为

　　数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美——罗素从小学到初中到高中，几何题一直是我们学习中的一根刺。可每次大考中必有一道高分的几何题，这让很多孩子又爱又恨，学霸写几何题，那是一个顺畅，可学渣只能看着题目干瞪眼。

哎，要是数学不考几何就好了。

　　几何之难，可谓是难于上青天，引无数学子竞折腰。

　　更有人觉得几何无用，不如学一些实在的，比如说撸代码，还有利于人工智能的发展。甚至连菲尔兹奖得主，美国国家科学院院士，中科院外籍院士，哈佛大学终身教授丘成桐也遗憾地说：“复几何，暂时还没有跟大数据、人工智能有密切关系”，那么几何果真没啥用，只配出现在考题中吗？

　　不，你觉得无用，是因为你不懂几何。

　　欧几里得是古希腊著名数学家，欧氏几何学开创者，他的《几何原本》共分13卷，包含了5条定理，5条公设，23个定义和467个命题，用最清楚明晰的方式梳理了从公元前7世纪一直到公元前4世纪前后总共400多年的数学发展史，是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽神作。

　　那么，我们就基于《几何原本》来分析下我们对几何的误解有多深。

一、几何太高冷？错！是你忽视了它

　　我们普遍认为几何太难，是因为我们对几何的印象，停留那一道道决定命运的、冷冰冰的考题上。

　　其实几何就藏在我们的生活中，只是我们缺少发现它的眼睛。

　　我们先来看冬天里喜闻乐见的雪花，它的雏形其实就是一个三角形，从三角形的每一边延展出一个三角形，经过多次延展后成为一朵漂亮的雪花。

　　我们再来看博物馆里的陶器。它们的边缘总会有绕一周的腰线，一种带状的、围绕着整个罐子外侧一周的装饰花纹，是同一种纹样的不断重复。

　　像这样，几何实际上是有美感的，因为它的对称性和组合性。

　　很多建筑家和画家正是利用了几何的美感，创造出了传世的作品。

康定斯基：三角形、圆形及方形与直线的巧妙组合维纳斯雕像：下半身与全身之比0.618（黄金分割）

　　欧几里得认为宇宙空间、人的精神间存在着一种超然于一切的形式美感。他设定点线面角为一切存在的时机，因为没有空间之物是不存在的。万物的根本关系是数量关系，找到这些数量关系就找到了现实世界通往神的道路，神就按照数理设计这个世界。

　　其实几何没有那么高高在上，它就在我们的生活中。

二、几何不如算术？错！几何才是算数之源

　　在日常生活中我们去买个菜，逛个超市，付钱的时候都需要用到算术，所以我们总有一种误区，觉得学会算数就够了，几何跟我们没啥关系。

　　其实不然，当阿拉伯数字还没有出现的时候，最早人们是通过几何符号来书写数字的。

　　其中最简单的一种方式就是用划线的方式记录数字，这一方式可能要追溯到苏美尔人发明楔形文字之前。爱德华湖附近发现的“伊尚戈骨”，长度在10~14厘米之间，上面布满了均匀分布的刻痕。有人认为这是人类历史上第一个计数系统，即每增加一个单位就多刻一条线。

　　另外，几何才是数学研究的基础。相传在柏拉图学院的正门上，立着一块木牌，上面写着，不懂几何者禁入，可见几何对数学研究的重要性。

　　在欧几里得看来，数学的运算属性也可用几何语言来解释。

　　在《几何原理》第七卷中，欧几里得写道：当两个数相乘得到另外一个数字的时候，这个产生的数字被称为平面，而这个平面的边长就分别是这两个相乘的数字。

　　什么意思呢？如果我要做乘法3×4，那么根据欧几里得的说法，3和4就是这个乘法的边。

　　为什么可以这么说呢？因为乘法可以表示为一个矩形的面积。3×4这个乘法运算的结果12，欧几里得称之为平面，对应这个矩形的面积。

　　几何与算数之间存在着紧密的联系，而且算数用几何图形来表示更为直观。

三、几何定理乱七八糟？错！是你不懂它的逻辑

　　爱因斯坦曾经说过，一个人当他最初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。

　　欧几里得的这本《几何原本》之所以能够成为人类历史上，除《圣经》外再版次数第二多的著作，就是因为欧几里得最先使用了公理化的方法，用最严谨的方式，进行了逻辑论证，串起了整个几何学的定理。

　　我们总觉得几何定理记不住，不会应用，实际上就是因为我们没有把那些片段的定理组合成一套完整的体系，灵活运用论证的思维方式。

　　美国著名总统林肯是欧几里得的狂热粉丝，他总是用《几何原本》来优化自己的思维方式，他说在法律阅读中经常遇到“论证”这个词，他自认为明白论证的意思，但是很快发现他并不真正理解。论证应该是一种准确无疑的证明，正如欧几里得的几何证明。

　　欧几里得的论证方式是选择少量的原始概念和不需证明的命题作为定义，公设和公理，再用逻辑推理的方式，证明其他命题。

　　这种方式叫做三段论，它虽然由希腊数学家亚里士多德提出，但欧几里得是第一个将三段论运用于实际知识体系构建的人。

　　那么，这个三段论是如何使用的呢？

凡人都会死（给出大前提，即我们都认可的一般性结论） 苏格拉底是人（小前提，一个特殊陈述） 所以，苏格拉底是会死的（结论）

　　这是一个从一般结论推出特殊结论的观点。欧几里得正是用了这一方式，从最基本的定理出发，推演出了整个几何体系。

　　我们熟知的美国总统林肯，借用欧几里得的那句“和同一个量相等的两个量相等”，得出白人是人，黑人也是人，同是人的白人和黑人相等的观点，并把人人平等的观点当作建国的最核心基础。

　　而在一千多年前，古罗马人将欧几里得的论证思路用于法律，引入自然法的概念，建立起几条简单而又人人认可的自然法，并以此为蓝本，推演出整个法律体系。

　　老子在《道德经》中说“道生一，一生二，二生三，三生万物”，万事万物其实都可以通过一定的逻辑不断地衍生变化。

　　欧几里得的《几何原本》有着最严密的论证逻辑，这种逻辑可以成为我们窥视世界的一把钥匙。

四、小结

　　几何并没有我们想象中的那么高冷，其实它就在我们身边，用最直观的方式和最严密的论证逻辑，影响我们生活的点点滴滴。

　　如果你觉得几何难而无用，一定是你误解了它。

　　《几何原本》读后感(十)：《几何原本》：为你解读这个世界最底层的数学规则

01

　　大明万历二十八年，也就是公元1600年，在一艘自上海开往南京的航船上，立着一位中年文士。他叫徐光启，万历二十五年的顺天府解元。徐光启此去南京，是为了探望自己的座师焦竑。但此刻的他还不知道，这次南京之行，他将遇到一个改变自己一生的人，那就是来自意大利的天主教耶稣会传教士利玛窦。

　　徐光启在座师焦竑家里见到利玛窦之后，立即被这个装了一肚子有趣知识的外国传教士吸引住了，两人相谈甚欢。随后，徐光启在利玛窦的影响下，加入了天主教，从而成为第一个信仰天主的大明官员。

　　万历三十二年，也就是公元1604年，徐光启终于金榜题名，考中了翰林院的庶吉士。恰好此时利玛窦也来到北京定居。故友重逢，格外欢喜，于是当晚徐光启就留利玛窦住在自己家里，与他秉烛夜谈。

　　利玛窦神秘地从怀里掏出一叠厚厚的拉丁文手稿，把它递给徐光启。徐光启之前已经跟利玛窦学会了拉丁文，他接过这份手稿，略微一看，双眼就放出光芒，用激动的声音说：“利玛窦先生，这份手稿里的内容，简直就是天才一般的艺术品啊！”

　　利玛窦微笑地看着面前这位得意门生，轻轻地说：“亲爱的徐，这是来自古希腊的智慧之光，我希望你能和我一起，将这束遥远的光传入大明、传入中国。”

　　这份被利玛窦称之为“智慧之光”的手稿，其实是一本数学著作。它被誉为是欧洲数学的基础，也被认为是历史上最成功的教科书。然而，就是这样一本数学教科书，竟然成为全世界除了《圣经》之外，流传最广的书籍。

　　这本神奇的书，就是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》。在问世两千年之后，它终于来到了中国。

　　1606年，徐光启开始与利玛窦合作翻译《几何原本》。两人起早贪黑，花了大半年时间，完成并出版了这部书的前6卷。而且，利玛窦和徐光启翻译这部书时所用的《几何原本》这个书名，如今也早已成为了这部著作的标准中译名。

　　但利玛窦带来的《几何原本》一共15卷，他和徐光启只翻译了前6卷，没过多久，利玛窦就因病去世了，这本书后面部分的翻译计划也就彻底搁置了。中国人要想看到《几何原本》的完整面目，还要再等上二百年。

　　徐光启和利玛窦未完成的事业，将由清代的数学家李善兰和英国传教士伟烈亚力来接力。公元1856年，李善兰完成了对《几何原本》后9卷的翻译工作。至此，欧几里得这部伟大的著作才得以完整地引入中国，并对中国近代数学的发展起到了重要作用。

　　目前，市面上大概有近十种《几何原本》的中译本，但只有兰纪正和朱恩宽两位先生的译本最为精当，至于其他译本，大都粗制滥造，读来无益。不过，兰纪正、朱恩宽版的中译本，虽然几经打磨，但其中仍然包含着一些小小的不足，例如，对原本的文字进行了过于现代的翻译处理。这样做虽然更符合现代人的阅读方式，但一字之差，很可能就会谬以千里。

　　为了让读者看到更原汁原味、更接近欧几里得原文的《几何原本》，果麦文化特意延请了清华大学的科学史教授张卜天，请张教授以《几何原本》的英译文作为底本，重新翻译了《几何原本》的正文，在翻译过程中，尽可能地忠于原文，不做过分现代的解读。而且，果麦版的《几何原本》，还附上了原书各卷的定义、公设、公理、命题题干的英译文，以便读者对照。

　　因此我敢说，假如你只打算在书柜里放一套《几何原本》的话，那么，它就一定是果麦文化新推出的这个版本。

02

　　也许你会问：我对数学并不感兴趣，也不想当一个数学家，那对于我来说，这套《几何原本》又有什么价值呢？

　　徐光启当年翻译完《几何原本》的前六卷后，在译本序中向我们阐述了《几何原本》的重要性：“唐虞之世，自羲、和治历，暨司空、后稷、工、虞、典乐五官者，非度数不为功。《周官》六艺，数与居一焉；而五艺者，不以度数从事，亦不得工也。《几何原本》者，度数之宗，所以穷方圆平直之情，尽规矩准绳之用也。”

　　这段话里的“度”就是几何，而“数”则是算术。徐光启的意思就是说，自上古时代以来，不管你是从事水利、土建，还是从事农业、林业，哪怕是音乐这样的艺术类专业，数学在其中都起到了非常重要的作用。而《几何原本》又是一切数学理论的基石，因此，只有精读并掌握了《几何原本》的精髓，才能更好地开展各项工作。

　　除此之外，徐光启在自己所写的《〈几何原本〉杂议》这篇文章当中，再次强调了《几何原本》的重要性，他说：“此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”

　　最后，徐光启总结说：“能精此书者，无一事不可精，好学此书者，无一事不可学。”

　　你看，徐光启已经说的很清楚了，如果你能把《几何原本》这样的书都读精、读透，那么在这个世界上，就再也没有能难得住你的事情了，换句话说，学会了《几何原本》，你就相当于掌握了这个世界最底层的规则。

　　至于在欧洲国家，《几何原本》更是被奉为数学界的《圣经》。

　　自这本书问世以来，在漫长的两千多年里，《几何原本》一直被视为纯粹数学的公理化演绎结构的典范，而且，欧几里得首创的逻辑公理化方法，以及在其背后那逻辑严谨的证明方式，至今仍是构建起我们眼前这座庞大数学王国的基石。

　　我们都知道，在欧几里得的几何理论中有五大公设：

　　一、过两点能作且只能作一直线。

　　二、线段（有限直线）可以无限地延长。

　　三、以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆。

　　四、任何直角都相等。

　　五、同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。

　　这五句话看起来实在是再简单不过，然而，15卷《几何原本》里的全部465个命题，全部是由这五句话推导出来的，这实在令人惊叹。正因如此，西方世界从《几何原本》当中吸收了这种严谨的数学演绎思维，并形成了一种完全不同于东方文化的、充满理性的思维方式。

03

　　不过，欧几里得的这套《几何原本》也并非完全无懈可击，其中有一处很隐蔽、但也很难被证伪的漏洞，那就是欧式几何的第五公设。

　　这个第五公设，其实就是我们经常说的平行公理，它具体是说：“同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。”

　　这个公设在整部《几何原本》当中，只出现过一次，并且它也无法用其他的公理来证明或推导。因此，后世有许多著名的数学家都觉得，这条公理未必是正确的。

　　后来，俄国数学家罗巴切夫斯基为了验证这条公理的正确性，提出一个“反证法”的思路，他对此加以解释说：“我们可以用一个与第五公设相矛盾的命题，与欧式几何当中的前四个公设组合成一个新的系统，并以此展开推理。如过推理过程中出现矛盾，那就等于证明了第五公设是正确的。”

　　然而，经过一番严谨的证明之后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：

　　一、第五公设不能被证明。

　　二、如果在这个新组成的集合体系中展开一连串推理，就可以得到逻辑自洽的新定理。

　　在此基础上，1854年，高斯的弟子、德国数学家黎曼提出了一种全新的非欧几何——黎曼几何。

　　在黎曼几何中有这样一条规定：“在同一平面内任何两条直线都有交点。”这就是说，我们所熟知的平行线的概念，在黎曼几何当中是不存在的。

　　黎曼提出的全新理论，第一次引入了完全不同于欧氏几何的空间概念，这也彻底改变了人们两千多年来对空间的认识和观念。他的黎曼几何理论乍一听十分怪异，但我们完全可以通过严谨的证明过程推导出来。正如黎曼自己所说的那样：

　　“几何学定理无法从一般的量纲概念导出，而必须借助那些可区分空间和其他实体的性质····我们只能研究他们的可能性，判断是否可以延拓到可观察范围之外，不可测量的巨大或微小······或空间所依存的物理现实是一个离散的多样体，或它的度量关系的基础需追溯到它的元素的结合力的外部来源。”

　　而且，黎曼几何还不仅仅是数学家的头脑风暴，它更是开启了新世界的大门。

　　黎曼几何的思想和体系，为爱因斯坦建立相对论，提供了必要的数学框架。爱因斯坦受到黎曼几何的影响，在广义相对论里彻底放弃了时间均匀性的观念，转而提出：时空只是在充分小的区域里以一定的近似性而均匀，但整体不均匀——这实际上就是黎曼几何的思想，难怪有人开玩笑地说：

　　“广义相对论就像是黎曼几何的一道应用题！”