傅里叶分析的发展

　　十九世纪初，法国数学家傅里叶曾大胆地断言：“任意”函数都可以展成三角级数. 虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创了“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念. 傅里叶的工作被认为是十九世纪科学迈出的极为重要的第一个大步，它对数学的发展产生的影响是他本人及同时代的其他人都难以预料的. 而且，这种影响至今还在发展之中. 目前傅里叶分析知识主要是由傅里叶以及与他同时代的德国数学家狄利克雷等人的研究结果.

　　首先介绍傅里叶级数收敛定理，即狄利克雷充分条件。设 是周期为 的周期函数. 如果 满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点. 则 的傅里叶级数收敛，并且

　　(1) 当x是 的连续点时， 级数收敛于 ；

　　(2) 当x是 的间断点时， 收敛于 .

　　狄利克雷收敛定理告诉我们：只要函数 在区间 上至多只有有限个的第一类间断点，并且不作无限次振动，则函数 的傅里叶级数在函数的连续点处收敛于到该点的函数值，在函数的间断点处收敛于该点处的函数的左极限与右极限的算术平均值. 由此可见，函数展开成傅里叶级数的条件要比函数展开成幂级数的条件低得多.