数学：确定性的丧失读后感10篇
《数学：确定性的丧失》是一本由[美] M·克莱因著作，湖南科学技术出版社出版的平装图书，本书定价：32.00元，页数：384，文章吧小编精心整理的一些读者的读后感，希望对大家能有帮助。
《数学：确定性的丧失》读后感(一)：数学的真谛
这个世界上流传着一个深入人心的奇谈怪论——数学是理性的学科，数学是逻辑的学科，数学的人类理性的精华，数学是自然科学的皇后。 不，不是，数学是经验的学科，数学是人类经验的提炼，“数学是自然科学的女仆”。一切数学工作者，若不能理解这一重要的判断，数学的发展就没有什么价值。（本书中，作者就批判了某些数学分支不顾经验基础只顾逻辑自洽的盲目发展，如代数拓扑、泛函分析等。） 关于数学的唯理性、纯逻辑的神话是从什么时候开始的呢？不消说，自然是希腊时代。“万物皆数”，“不懂几何学的人禁止入内”，这舆论压力就奠定了几千年的数学传奇。 希腊时期，数学这门学科有四个分支——代数，几何，音乐，天文。为什么会有音乐和天文呢？因为乐律的谐和中有着整数比的奇妙关系，天文更不必说，苍黄天地的几何关系。因此，自然界是按照数学规律创造的，数学真理是确定的，是经由人类的理性才能达到的。自然（音乐天文）是被数学（几何代数）牢牢压制住的。 不，不对，希腊人说反了。渺小的人类发现了自然界中的抽象规律，并把它称之为“数学”。数学不是客观真理，数学是人的主观创造。人类真是不孝，经验之母的哺育喂养非但使人们感恩戴德，反倒回过头来划清界限、恶言相向。“上帝只创造了自然数，其他都是人类的发明。”结果人们却无限讴歌上帝吹嘘理性，把无理数、复数的客观存在都归到上帝的门下，以此来求得对自身脆弱智慧的一丝安慰和坚定信赖。 为什么过一点有且只有一条直线与已知直线永不相交，因为人类的经验；为什么矩形的面积等于长乘以宽，因为人类的经验（你说说，为什么这个面积不乘上一个常系数？）；为什么要提出“极限”的概念，因为人类的经验（你说说，微积分能不能找到其他的逻辑基础？本书中提到了这样的研究成果）；为什么拓扑里面要先定义开集，因为人类的经验（你说说，你理解拓扑空间的三条定义吗？）；为什么群环域研究的是二元运算而不是三元四元，因为人类的经验；为什么概率论中的事件域要满足sigma域的三条定义，因为人类的经验（你说说，为什么一定要有sigma域关于极限的第三条定义，这是不是人类经验的总结？）；为什么Fisher创立的统计学是有效的而Pearson的理论被摈弃了，因为人类的经验；为什么素数这个基本的概念会引领了几百年的数论研究，因为人类的经验（你说说，“素数”的概念是不是人类的发明？）。 数学：确定性的丧失。我觉得副标题还不太恰当，似乎应该叫作“唯理性、唯一性、纯逻辑、纯思辨的丧失”。现代数学发展到这里，人们应当承认，数学真的不是人类大脑脱离经验的逻辑化产物。 全书大致可以分成四个部分。一，几何学的历史。欧氏几何学上千年的压倒性地位，使得人们长期以来将数学看作人类理性的硕果。非欧几何出现，人们方才认识到数学并不是纯意识的产物。二，代数和分析。在希腊时代，代数由于其实用性、经验型，是遭鄙视的。阿拉伯世界带来了对代数的兴趣，笛卡尔的发明使得代数与几何并驾齐驱。继而是数系不明、微积分概念混乱的数学界几百年辉煌发展，直到十九世纪才确定了一切逻辑基础。三，十九世纪末开始的数学公理化运动，四大派别轮番登场，各不相让，直到哥德尔平地一声惊雷，啪啪啪，全被劈死了。四，重新思考，数学的基础，数学的目的究竟是什么。 数学的目的究竟是什么？数学逻辑基础的争论快要过去一百年了。其后的这一百年间，争议似乎被搁置了，好像很和睦，然而也是数学开始与物理物理分道扬镳的一百年。一百年来，在重大的科学（主要说物理学吧）进展面前，数学工作者几乎全体失语。布朗运动的数学描写，是Einstein做的；统计物理的数学基础，是Gibbs完成的；凡称量子力学，必追溯Dirac；七大问题中的Yang-Mills自不必说；非线性方程的发迹、混沌现象的重大进展，是由一个气象学家（Lorentz）提出的。数学家们好像永远都跟在物理学家的屁股后面，做些公理化、逻辑化的无谓工作。要不然就是闭门造车，有限单群分分类，解的存在唯一性证一证，把代数几何、代数拓扑、调和分析、算子代数等等不知所云的学科推进到更加不知所云的地步。现在的数学工作者们，已经完完全全地丧失了从自然科学中提炼数学问题的能力，要解决问题也需要别人把问题清清楚楚地用数学形式提好了再去解决，仿佛这就是Newton、Euler、Gauss、Riemann留给我们的优良传统。问题要都提好了，谁还需要你？ 逻辑就是数学的一块遮羞布。当打扮得光鲜亮丽的时候，谁去关心你内裤是什么颜色的。当你脱得啥都没有了的时候，只好羞怯怯地说——瞧，我们还是挺讲逻辑的。（你不信吗？你来说说，黎曼zeta函数在不收敛处是怎么定义的？这符合逻辑吗？） 这本书要告诉我们的就是这件事情。数学的真理是唯一客观存在的吗？不是。数学的真理性既不依赖于严谨的逻辑，也不依赖于光辉的理性。不，这些都拯救不了数学。只有对自然的合理诠释才唯一地成就数学的合法性。 “孱弱无能的理智啊，你该有自知之明！” ——Pascal
《数学：确定性的丧失》读后感(二)：2015年第十四周
全文脉络：
序言
数学曾被认为是精确论证的顶峰，真理的化身，是关于宇宙设计的真理。然而，人类现在认识到这种观点是错误的。而我们如何认识到那种观点的错误性，我们现在的观点又是什么，这就是本书的观点。
引论
这章简要概括了一下全文，即以数学的历史走向为脉络，展示数学尊严的兴起与衰落。
第一章 数学真理的起源
思索的人们尽管不能，但总是试图去理解复杂多变的自然现象，去解开人类如何定居在这个地球上的谜题，去弄明白人生的目的，去探索人类的归宿。在所有早期文明中，这些问题的回答都是宗教领袖给出的，并为人们所普遍接受。只有古希腊文明是个例外。希腊人发现了推理的作用。正是古典时期的希腊人，认识到人类有智慧，有思维，能够发现真相。（虽然照原文把这段抄下来，很不是摘要的样子，但是这段讲的很好）
希腊的智者对自然采取了以一种全新的观念：自然是有序的，按照完美的设计而恒定的运行着。。。自然是按理性设计的，这种设计，虽然不为人的行为而影响，却能被人的思维所理解（人类思维能理解自然的设计，这是一种很重要的假设，亦是一种很美的假设）。讲到古希腊的理性精神，就不得不讲到毕达哥拉斯学派，他们言中了后来两条极其重要的信条：1、自然界是按数学原理构成的；2、数学关系决定、统一并显示了自然的秩序。
希腊人利用演绎推理建立了一个非常庞大恢弘的数学体系。
第二章 数学真理的繁荣
正如历史上所有的文明都会遭遇衰落，希腊文明也不例外。宏大的希腊文明被几股力量所摧毁，首先是来自希腊、埃及和近东罗马的逐渐侵占，还有基督教的兴起，最后是公元640年新崛起的回教徒对埃及的征服。虽然后来的征服者对古希腊数学文明有所继承与发展，但他们的发展建立在实用层面上的。历史的车轮碾到文艺复兴，其中出现了许多杰出的人物推动了数学的发展。其中包括哥白尼、开普勒、笛卡尔、伽利略、帕斯卡。
第三章 科学的数学化
希腊人，尤其是亚里士多德，也用物理学术语来解释自然现象的行为，他们的主要理论是四元素说，到了中世纪，四元素中有增加了许多其他性质，如共振和不相容。
然而笛卡尔摒弃所有这些性质，认为，所有物理现象都能由物质和运动来解释物质的基本属性就有广延性，并且可以度量，因此可以归结为数学。虽然这种假设在大体上，解释了自然界的总体行为，但这只是心智的创作，而且笛卡尔和他的追随者的物理学假设是定性的，因此也就仅能解释而已，不能精确的预言观察和实验中所出现的现象。
一种关于科学的，与上述哲学完全相反的哲学由伽利略所开创。科学必须寻求数学描述而不是物理学解释，而且，基本理论应由实验和根据对实验的归纳而得出。伽利略、牛顿、费马是科学的数学化史中的代表人物。
第四章 第一场灾难：真理的丧失
进入19世纪，数学界一派祥瑞景象：拉格朗日任然活跃在数学界，拉普拉斯正处在智力的顶峰时期，傅立叶致力于研究他的手稿，高斯刚刚发布他的《算数研究》。。。上述人物及其他数百人的成就似乎成了不容反驳的明证：越来越多关于自然界的真理正在被揭示。他们加速寻求自然界的数学定律，他们似乎被这样一种信念所驱使：他们就是神派来揭示上帝意图的。
但由非欧几何和四元数这两个推理的重大胜利导致了数学的第一场灾难。
第五章 一门逻辑学科不合逻辑的发展我们将不会悲伤
这章是上一章的延续，即在承认上一章的内容前提下，反省过去数学这不合逻辑的发展情况。
第六章 不合逻辑的发展（一）
这章讨论微积分提出的“无限”问题。微积分是当代科学的重要基础，但它提出的基础概念“无限”现在也未能被人正确的演绎理解，从而从根本上动摇现代科学的逻辑。
第七章 不合逻辑的发展（二）
正如许多18世纪的人所指出，大量的数学结构没有逻辑基础，因此不能保证数学是正确无误的。经过分析，作者得出一个结论“很显然，19世纪任何一门数学在逻辑上都是得不到保证的。实数系、代数学、欧氏几何，新出现的非欧几何和射影几何，它们要么逻辑不完善，要么根本没有。”但难以证明的数学工作，在17到19世纪中，创造了许多宝物——丰硕的科学成果让人相信上帝已经数学化设计了世界。
第八章 不合逻辑的发展（三）
这章主要介绍了数学严密化工作，到1900年，数学家们似乎已经赋予了他们学科一个理想的结构。
集合论中悖论的发现，以及意识到其他经典数学中也可能存在悖论，使数学家们开始认真对待相容性问题。另外，随着数学逻辑体系的成长，使得数学家们意识到，即便是逻辑原理也不能非正式和随意地使用。 数学上的潜无穷思想是指：把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实 在。把无限看作为永远在延伸着的（即不断在创造着的永远完成不了的）过程。按照此观点，自然数不能构成为一个集合，因为这个集合是永远也完成不了的，它不 能构成一个实在的整体，而是永远都在构造之中。举个形象点的例子就是，构成一条直线的点有无穷个，并且这条直线永远延伸着，不会有终结的一天。数学上的实无穷思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。按照此观点，所有的自然数可以构成一个集合，因为可以将所有的自然数看做是一个完成了的无穷整体。康托的朴素集合论就是建立在实无穷的基础之上的。举个形象点的例子就是，一条线段上的点有无穷个，但是这条线段本身又是有限的。
第十章 逻辑主义与直觉主义
这部分介绍逻辑主义和直觉主义。
在介绍逻辑主义中提到一个很有帮助的理论“层次理论”，即数学家为了避免由于定义一个包含自身在内作为一个元素的集合而引起的错误而创建的理论，其思想可以简单概括为“每一个断言都比它所描述的低层的事物层次为高”。用层次理论可以解决理查德悖论、说谎者悖论等一切关于低层断言的层次更高的断言。逻辑派的宏大计划，就是把数学奠定在逻辑的基础上，不需要任何的数学公里，数学不过是逻辑的主题和规律的自然延展。对逻辑学派的诘问主要集中在约化公理、无穷公理及选择公理的使用上，其中被炮轰的最猛的是作为逻辑公理的无穷公理，批评认为逻辑主义建构的数学的结构根本上是建立在这个公里的正确性之上，但根本无法对其真理性做出判定，而且它是不是个逻辑公理也还是个问题。
与逻辑主义截然不同的是直觉主义。直觉主义对于逻辑的观点，可以引用魏尔的看法：”根据布劳维的观点和对历史知识，经典的逻辑是从有限集及其子集的数学中提取出来。。忘记这一有限的起源，人们就会错误的把逻辑看作是高于并且先于全部数学的某种东西，从而不加证明的应用到无限集合的数学中去。这是集合论的堕落和原罪，而悖论的出现就是其应受的惩罚。“（其实对逻辑主义最大的诘难就是其建立在演绎的基础上，然而演绎总是有限的，而我们又如何从中推导出无限？这就需要形而上学的假设）。直觉主义判断对错依靠的是人类头脑的自明。（这种基于人类美学上的主义，我并不喜欢）。
第十一章 形式主义和集合论
在数学基础观点上首先出现了观点完全相反的逻辑主义和直觉主义，而后还有第三大派系是大卫 希尔伯特领导的形式主义派，还有第四派系集合论公里派则是由策梅罗创建的。
第十二章 灾难
回顾以往，1930年时的数学基础的状况可说是差强人意。已知的悖论已经被解决，但是几个学派为此使用了特定的方法。但是，两个问题继续困扰着数学界。首先时建立数学相容性，这恰恰是希尔伯特在1900年的巴黎讲演中提出的。虽然已知的悖论已经解决，可再次发现新悖论的危险依旧存在。另一个问题被称为完备性，通俗的讲，完备性问题就是一个合理的欧式几何的命题，例如三角形的三条高线交于一点，是否能根据欧氏公理证明或证伪。然而，在1931年数学家哥德尔发表了一篇题目为《〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》的论文，其中涵盖包含了两个对数学界具有毁灭意义的断言：1、任何数学系统，只要其能包含整数的算术，其相容性就不可能通过几个基础学派（逻辑主义学派、形式主义学派、集合论公理化学派）采用的逻辑原理而建立；2、如果有一个形式理论T足以容纳数论并且无矛盾，则T必是不完备的。哥德尔的结论可以推导出其他有意味的结论，比如直觉的可靠超出了数学的证明、另外咋某种程度上，哥德尔不完备性定理是对排中律的否定，有些命题既不能被证明也不能被证伪。
第十三章 数学的孤立
这里讲到纯数学与应用数学。由于数学面临着之前出现的危机，很多数学家的数学研究开始变得越来越纯，越来越纯粹的“为艺术而艺术”。但数学的本源是直接经验，它不应该离它离的太远。虽然有一些数学家会讲到纯数学的未来应用，然而从历史角度看，许多被认为当时无用的数学是出于实际应用产生的，而现代产生的纯数学创造，有绝大多数是基本无价值，剩下的只是因为随机概率而产生的成果。归根究底，我们必须明确什么研究才是值得追求的，而不是所谓的纯数学和应用数学之间的差异，
第十四章 数学向何处去
数学是什么？作者简要的回顾了一下数学的历史发展，展示了许多截然不同的观点。一：直觉主义者：它是人们任何时候都乐于使用，经过逻辑筛选、提炼和组织的一系列伟大的直觉。人们愈是努力尝试提纯这些概念，系统化数学的演绎性结构，数学的直觉性就愈复杂。但数学正是建造在某种直觉之上的，这些直觉是我们的感觉器官、大脑和外部世界相结合的产物。它是一个人为的构造，任何为其寻求绝对基础的尝试注定是要失败的；二、柏拉图主义者：数学概念和命题存在于某些客观意识中，且可以为人类思维所领悟。因此，数学真理就是被发现而不是被发明，逐步完善的不是数学，而是人们的数学知识。
第十五章 自然的权威
我们能够因为不能理解数学不可思议的有效性而放弃使用它吗？显然不会，经验将驳斥怀疑者。虽然经过本书的三次危机的描述，我们对数学的绝对准确性业已否定，但我们并不能因噎废食，事实证明，数学治理了自然，减轻了人类的负担，从数学的成功中人们鼓起了勇气。也许，人们只能通过引入极限甚至是人造的概念 才能建立起自然的秩序。也许人类的数学仅仅是一个可行的方案，也许自然本身更为复杂或者并没有什么固有设计。但是，数学仍不失为一种探索，是表现和掌握自然的一般方法。在那些数学行之有效的领域，它是我们的全部资本；如果它不是现实本身，它就是我们所能达到的与现实最接近的东西。
经典语录：
1、一门科学的历史就是这门科学本身。——歌德
2、自然是按理性设计的，这种设计，虽然不为人的行为而影响，却能被人的思维所理解。
3、音乐能激起或平静人的心灵，绘画能愉悦人的视觉，诗歌能激发人的感情，哲学能使思想得到满足，工程技术能改善人的物质生活；而数学则能够做到这一切。
读后感：
若有什么是绝对确定的，那都将会给人以极大的安慰，在这个一切已不再确定的世界里。
我在《第一哲学的支点》里，曾惊喜的获知有一种知识叫做先天知识，譬如逻辑与数学，它约束着所有的可能世界里。然而，这本书推翻了那本书里的说法，宣布就算是数学，从根本上反思也是靠不住脚的。可能的世界依旧充满了无限可能，人类依旧活在不确定的假设中。
这本书在阅读的过程中稍有枯燥之感，读起来的质感就像是在读一本哲学史书，果不其然，读完全文发现这本书讲述的就是哲学——数学哲学的发展史。就像是《第一哲学的支点》简明扼要的讲述了哲学史，这本书也简明扼要的讲述了数学史，并以一种厚重的历史观看待现在数学的处境——三次数学危机后，以前作为“宇宙荣光”的数学确定性的丧失。数学并不是像大多数人所想的绝对的真理，它并没有绝对的准确性。数学很可能只是我们人类自己的产物，它的产生，从历史角度看，与自然科学的产生并无二致。
得知上述这点，估计大多数人都会觉得很失望甚至绝望，为什么这个世界就没有一点确定的东西？
是的，按照我们人类思维理解，或许的确没有什么绝对确定的东西。当我们用理性思考时，无不运用着概念。而概念，就像亚里士多德所说，因为概念都是要用概念推演出来的，因此总有基本概念不可定义，否则就没有起始点（排除用循环论证的定义）。因此有两种方法可以建立基本概念，一个是直觉，另一个是可操作性定义。而上述两个方法我们都无法绝对确定其正确性与无偏性。因此，世界总有一层面纱，让我们无法真正观测出它的面目。我们需要的是一种信念，即数学虽然不是现实本身，它也就是我们所能达到的与现实最接近的东西。世界可能是复杂的，但它并不具有欺骗性，他的奥秘，对于人类是敞开的。
世界是被迭代出来的，我们所处的世界是由简单而又深奥的原理构成的；虽然我们无法绝对的确信世界到底是否能被我们的数学及逻辑统治着，是否潜伏着大片我们所不知道的骚动，但是有简单派生出来的复杂世界是可以理解的可能世界；虽然心有存疑，但我们依旧应该坚定的走下去，去领略这美丽世界。人不能自欺，但也得有信条在心中，而对于我，即世界是由简单的原理迭代出来的。
《数学：确定性的丧失》读后感(三)：存在性与确定性
昨天一个姑娘问我是不是真的喜欢她。
如果我没有读过这本书，我会跟她讲，当然喜欢啊。
不幸的是，我读过这本书。于是我的回答变成了这样：我知道我喜欢你，但我不知道我为什么喜欢你。就像我知道很多事情存在着，但我不知道那些事情为什么存在着。这些年我们都经历了一些事情，这些事情都过去了。我也不知道我从这些事情里面学到了些什么，只是经历了这些事情之后，我不再去问那么多的为什么。
然后，姑娘就不理我了。
这是本严肃的书，我应该写一篇严肃的书评。但这本书是我两年前在华师大自习室读的，书的内容已经记不太清。我只记得那段时间我读了不少书，哲学书，数学书，法学书......虽然那些书把我变成了一个彻头彻尾的二逼。但现在想想，那段日子，仍然是一段无比美好的时光。
过去的一个礼拜，我感觉自己回到了那段美好的日子。如果再给我一个机会，我会跟那个姑娘说：姑娘，我确实喜欢着你。跟我在一起吧，我会用我的余生，为你写出这个世界上最完美的证明。
《数学：确定性的丧失》读后感(四)：理解无限——简明扼要的数学哲学发展史
当我向别人推荐这本书的时候，我都会加上一句：“这本书的标题似乎不大恰当。”的确，这个标题涵盖了某些结论的某个部分，却不能说明这本书的主题和内涵。或许标题的噱头在于读者看到这本书似乎会立刻想起：“数学怎么会不确定呢？”然后会疑惑不解并进而有阅读的欲望。但我宁愿相信作为著名数学史专家克莱因一定没有为这本书赋这个书名，却更像是出版社的编辑为加噱头所致。
我在读这本书之前读过其他一些有关数学史、数学思想史的书籍，所以在读这本书的时候，很多的典故都曾经看过。如果有在大学本科修过一门叫“数学史”的课程的话，肯定听说过所谓“三次数学危机”。基本上来说，这本书就是围绕着这些“数学危机”展开。之所以称之为危机，正在于数学在科学中的核心地位以及危机发生的形式。
如果将这些“危机”尝试归纳总结的话，大致可以表述为“有关无穷的数学逻辑基础”。如何理解无理数、如何理解正确理解微积分、是否承认实无穷的存在、分析在数学上的应用、集合论以及超越数都涉及到无穷这个概念。事实上在逻辑都成为了数学的一个分支的现在，我们甚至怀疑逻辑本身（参见第十章及第十一章）。导致数学基础的“无穷”出现瑕疵的关键或许正在于我们的逻辑本身充满瑕疵。
我们一般认为，数学是建立于实际世界给我们的直观之上的抽象产物。而这样一个概念，恰恰是长期数学发展过程的“去魅化”的结果。在康德以前，人们还并非真正意识到“人为自然界立法”，而康德的知识论体系使人们意识到，数学并非从孤立的真理中而生，它恰恰是人类头脑抽象能力的结果。换句话说，物理世界引发了数学抽象。
如果从这个意义上考虑，逻辑本身并不完美实际上很容易接受：逻辑是作为人类的一种适应性创造工具，而不是作为先验真理而生。既然承认逻辑的瑕疵，若我们再尝试纯粹的通过逻辑找寻数学大厦的基础，似乎不妥。哥德尔不完备性定理告诉我们，任何一个对应着实数系统的公理化演绎体系，一定有一个定理既不能证明也不能证伪。当公理系统的基础推向无限（如果我们寻求一个完备性的公理体系的话），这个公理化体系必然失去其意义：我们无法接受一个具有无穷个公理的体系，而我们一开始想做的，恰恰是希望把无限归之于有限。但或许，这不过是黄粱一梦。
也许想要理解无限的我们根本是在痴人说梦：妄图用有限形式去描述无限本身就是不可能的。逻辑只能在有限的范围内告诉我们对与错，当需要判定的定理达到“无穷”时，需要的信息量与需求的分析能力似乎也是无穷的。
如果妄图在一个开放的系统寻求封闭体系的完备性是不可能的，那么只需要承认体系并不封闭，问题似乎就解决了。就好像回到了黑格尔的辩证法一般，认为数学体系是需要不断弥补和前进的，认定我们可能永远也找不到一个真正完美的数学基础，从而尝试在数学的历史与实践中获得数学体系的新生。
作者就是这么回答这个问题的。在最后两章中，作者着力提出了这样一个问题：我们怎么认可数学系统的合理性和有效性？当然，我们只能到物理世界中寻找。许多的数学基础并不完备，但并不妨碍它在物理中的应用。认为物理世界中的“实践”支撑数学大厦的基础并不过分：“数学就好像一棵大树，树冠越来越繁茂，而树根就需要扎的越来越深。”树根作为树冠的根基，恰恰是与树冠一同伸长的。一个“确定性”的树根恰恰意味着数学的死亡。
如果问我全书读毕有什么感想，那么或许就是“欣慰”。我庆幸数学的基础并未确定，从而相信，数学的未来有着超越我们想象空间的，更大的可能和发展。
《数学：确定性的丧失》读后感(五)：我来建立它-确定性
克莱因是个历史学家。数学还是有确定性的只是这个确定性不是太高太好，但还是有的。
数学，逻辑都是经验，并不是所有人都知道。
数学主要是被印度人搞坏了。但是你却并不能责怪印度人，因为阿拉伯人接过来以后做的也不怎么样。欧洲人做的也不怎么样。事实上，人类真正的希望从头到尾都只在希腊。希腊是人类真正的希望。
数学的主要问题是它丝毫都不“逻辑”。这一点与很多人认识的恰好相反，数学是我见过的最不逻辑的学科，就连股票理论也比它更逻辑化更严谨。数学跟逻辑毫无关系。克莱因认为数学甩掉逻辑才取得了大进展，事实上甩掉逻辑的后果是数学建立在一个完全虚构的东西的基础上-那就是“数”！
数是一切的根源，是万恶之源。数学的繁复，复杂，不一致，全都来自它的基础问题。是数使得数学变成一门求解的学科，走上一条求解的道路。它改变了人们的追求目标，重新并错误的定义或决定了数学的求解形态，将人们引入一个纯数的游戏之中。并且迫使人们从错误的一个入口，从一个完全相反的方向进入数学本来的世界。
数是万恶之源。纯数学实际上比应用数学还是要好一点的但仍逃不出数并且没有逃出数的圈圈。
我准备写一本书，以建立一种全新的数学系统。我要干掉算术，干掉代数，干掉函数，干掉微积分，干掉泛函、变分，抽象代数也要干掉。几何可以留下。
事实上，我研究哲学也是这样的结果，那就是到了最后我往往总发现，我能留下的只有古希腊人的东西。甚至对形而上学也是。因为我发现人类整个绕了一大圈之后，还是且只能、必须回到亚里士多德。
古希腊人除了在科学上建树不大但在其它的很多方面现代人根本无法企及或远没有企及。
克莱因可以，希尔伯特可以，彭家勒也可以，但是，没有一个有丢翻图那么强的人！事实上，只要解决了丢翻图的问题，你也就解决了数学的全部问题。
崇敬古希腊！
《数学：确定性的丧失》读后感(六)：阅读笔记
2008-6-15欧式空间（现象学）及康德
那天，当老师回答某同学关于是否有人质疑过弗洛依德如何得知小孩的auto-eroticism，他说：Well, you know, 所有理论都必须有一个预设。就如数学公理，过一条不在直线L上的某一点，有些只有一条直线；又或者是，两点之间距离最短是直线。这些公理能证明吗？无法证明，但我们可以从这些公理出推论出许多定理。
嘿嘿，你知道吗，听到这个答复后，我对老师的敬佩之情又多加了几分！当然我敬佩的不是他知道这些（呵呵，我也知道啊），而是他可以很自然的用数学体系方面的东西来回答文学（哲学）问题～～这一点最令我欣赏。
《数学：确定性的丧失》这书的第四章恰好就涉及到这两个欧式几何的公理以及康德的哲学。尤其下面这段话（P94-95）：“他肯定所有的数学公理和定理都是真理……所谓时间和空间只是我们感知的一种模式【有些类似Husserl的现象学：现象学要把握的是事物的普遍类型或本质，完全纯粹的把握任一现象就是把握其中本质性和不变性的东西。它把自己当作一门关于人类意识的科学，这一意识并非被设想为特定个人的感觉经验，而是被设想为心灵本身的“深层结构”（——这一点又有些像结构主义了）】既然空间的直接来源于心智，那么心智自动地接受空间的某些属性，诸如直线是两点间的最短路径…康德既然从人的大脑中创造出了空间，那他也就看不出有什么理由不让它是欧式空间……至于上帝，康德说上帝的本质不在理性知识范围内，但我们还是应该相信上帝。康德在几何上的轻率超过他在哲学上的大胆。他没有到过离东普鲁士城市哥尼斯堡他的家65千米以外的地方，然后他却假定他能决定世界的几何形状。”
你不觉得最后一句话说得很妙吗？
2008-6-3 数学与哲学
（数学对人类最初认识世界的推动）
作为一个独立知识体系的数学起源于古希腊，关于数和几何图形的庞大理论体系为数学提供了一个看来似乎永无休止的确定性前景。
数学从不证自明的公理出发进行演艺推理。它的实质是，若公理为真，则可以保证由它演绎出的结论为真。
数学已显示了人类理性的能力、根源和力量。所以为什么不把这种方法用到由权威、风俗、习惯控制的领域，比如哲学、申雪、伦理学、美学及社会科学中去寻找真理呢？因此，在称作理性时代的启蒙时代，数学方法甚至加上一些数学概念和定理，用到了人文事务。
（但是希腊天才的片面性，也结合着数学一起表现了出来：它是根据自明的东西而进行演绎的推理，而不是根据已观察到的事物而进行归纳的推理。它运用这种方法所得到的惊人的成就不仅仅把古代世界，而且也把大部分近代世界引入了歧途。根据对于特殊事实的观察以求归纳地达到某些原则的科学方法，代替了希腊人根据哲学家头脑得出的显明公理而进行演绎推理的信念，这原是经历了漫长的过程的——罗素《西方哲学史》）
（数学与哲学是怎么联系起来的？）
地球自然现象及人类的归宿、人生的目的，这些问题在早期文明由宗教来回答，只有古希腊文明例外。希腊人发现了推理的作用。
当希腊人把推理用于政治体系、伦理道德、法律、教育和其它方面，他们决定性影响后代文明的贡献是接受了对推理最强有力的挑战，知道了自然界有规律可言。在这之前，人们认为自然是混乱、恐怖的，自然现象无法解释，只有用祈祷、祭祀和其它宗教仪式来解脱。
希腊的智者对自然的态度是理性的、批判的和反宗教的。
毕达哥拉斯Pythagoras：万物皆数。（我怀疑《数字追凶》（numb3r）的编导是该信徒。）
《数学：确定性的丧失》读后感(七)：读后真实的感慨
说实话，昨天彻底合上这本书，确实有一种很强的成就感。毕竟这本书已经在我的枕边躺了将近一年（考研后1月底开始看的）。而今天在看《统计学习方法》一书的时候，面对一个偏积分问题，面对数学我心中莫名的闪动着一种开心的感觉。我相信这种感觉肯定是M·克莱因的这本书带给我的。
考研复习的一年让我真正的去理解高等数学的一部分内容，被数学复杂的推理逻辑和精准的描述自然能力所吸引，从同寝哥们那里看到这本书的时候自然被书名吸引了。而头两章相对简短的内容，作者把我这种对数学魔力的好奇欲提升至了顶点。
确定性的丧失，是作者对数学这一人类理性的最大发明的思考。希腊文明，亚里士多德、欧几里得经典的逻辑和几何学说，自此不断发展的数学像灯塔一样照耀人类文明在无尽的科学之海中发展了几个世纪，数学一直是人类最为骄傲的思想产物，它的光芒如此耀眼也让人一直没能看清一个真实的数学。
这本书的结构是按历史的发展来撰写的，初读来感觉仿佛翻开数学史一般的宏大，随着历史的展开，我们跟随着古代哲人的思想轨迹，一路上不断观察不断思考，尽管我们已经在现在有了相对丰富的知识结构，但如果回到过去那段历史，也许一样无法从当时思想的狭缝中挤出来。从一开始相信数学是上帝真理的体现，到真理崩塌发现先验真理的不复存在。从公理化运动开始，意味着坚强的数学家对数学逻辑大厦的最后的坚持，到哥德尔和勒尔海姆-斯克伦定理对数学基础灾难性的摧毁。数学有过以其不断精准定义自然（发现行星，解释预测现象）为标志的繁荣，也有其权威的崩塌带给人的无限沮丧。这样反复盘旋的过程使数学不断进步，也使人类不得不思考：什么是数学？为什么数学能够精准的表示自然？
答案很令人震惊，但细想之后也确实让人接受。数学其实是一种直觉，是人类在脑海中通过逻辑不断深加工后的直觉。对数学本质的认知到底还是归根为这个哲学命题，思维与现实的关系。这个过程真的很美，我是怀着对数学的崇拜来读这本书，但最后却上升到了哲学的层次，也直接引起了我对哲学的兴趣，下一本书应该就是罗素的《西方哲学史》。
最后几章就是作者对数学何去何从的见解。客观来讲，面对现代的一些观点，作者也表达出了他的一些主观性的意见（对部分学者的批评和支持），不免对此书的客观性打了一些折扣，谈到这个我没有丝毫的批判之意。
总之，此书真的值得一读，尤其是对于那些和我一样对数学抱有崇拜性观点的人，也对于那些被数学本身吓住不敢接触的朋友。读罢不会让你对数学失望，反而会对有无尽可以探索的数学产生更浓厚的兴趣。数学，同样科学，探索它的乐趣不在于它本身是真理，而在于它是发现真理的过程。
最后，对莫里斯·克莱因，这位20年前过世的伟大数学家致敬。
《数学：确定性的丧失》读后感(八)：译文简论
最近看了不少翻译叫人恼火的书。相比之下，这本书中规中矩的译文都显得有些亲切可爱了。
：我看的是2007年4月版。
■简单说，主要还是一些人名、术语的翻译不太主流。比如“笛卡尔”译成“笛卡儿”，“达朗贝尔”译成“达兰贝尔”，“莫佩尔蒂”译成“莫帕图伊斯”；“本轮”“均轮”分别译成“周转圆”“从圆”等等。另外，“斯涅尔”有两个地方又写成“施奈尔”，“歌德”写成“哥德”（但是最后的对照表里又是“歌德”）等等。
比较无语的是p.160这句：在他给J·格雷戈理的侄子D·格雷戈里的一封信中……
而比较严重的大概是p.16出现的柏拉图著作《爱好者》吧。我粗略查了下，柏拉图对话里出现了Protarchus这个人的好像只有“Philebus”这篇，一般直接音译。另外《理想国》也译成罕见的“共和国”。（虽然有人认为这两个都不准确，应该翻成“治国篇”。）
■然后就是句子结构不太自然。偶尔会出现一些第一遍看不太明白的长句；或是插入语又把句子搞得零零碎碎；或者是分句之间关系有点乱。
比如p.104的这句：
【……尽管这本书是1832~1833年出版的，但是在罗巴切夫斯基的著作出版之后，J·鲍耶似乎是在1825年就已经形成了有关非欧几何的思想……】
“但是”的位置不太对。这样的句子还有一些，但是不影响大意的理解。
■有句话前后出现了两次，翻译不太一样：
.2 【牛顿是最幸运的人，因为只有一个宇宙，而他已发现了它的规律。】
.70 【牛顿是最幸运的人，因为只有一个宇宙，而他成功地发现了它的定律。】
当然，也可能是原文就不太一样。
■有几句有歧义：
.55 【最著名的就是他的废除物理解释的主张——亚里士多德奉为科学的真正目标——……】
还以为亚里士多德的目标是废除物理解释。
■然后就是上帝的“性别”：
.74 ……上帝是位伟大的智者，正是【她】创造了……
.81 ……是上帝存在和【她】富于智慧的第一个科学明证。
.83 【她】还创造了正弦定律，使光在折射时遵循。（引用文字）
不论是正文还是引文，都用的“她”，我觉得这应该是译者改的。
但是在p.97，又出现了：上帝决定要惩罚……因而【他】转而鼓励非欧几何……
■目前唯一可以确定的一个大错，是p.97欧几里得第五公设的翻译：
【如果一条直线与两条直线相交，使得一侧的内角都不是直角，则如果将这两条直线延长，它们在内角都不是直角的直线一侧相交。】
内角都不是直角也可以平行。应该是“内角和不是两直角”才对。
而p.109【要是萨谢利早生100年】，感觉应该是【晚生】100年。
■第十章“逻辑主义和直觉主义”对这两派写得很好，是我目前看过的书里分析得最清楚的。
■最后是几个印刷错误：
.13：你不仅可以在鬼禅的事务上……
“禅”疑应为“神”。
.32的图1.8像格式损坏了似的。
.54：被现在那部水远在我们眼前……
“水”→“永”。
.99的注释：“渡诺那”疑应为“波诺那”。
.154：1/2log(-a)^3应该为1/2log(-a)^2。
.186：第一个式子，指数2应该在括号外。
.243：只有当户为真而q为假……
“户”→“p”。
.306引文：他水远处于创造的状态中
“水”→“永”。
《数学：确定性的丧失》读后感(九)：我是怎么了解德国人的？（只是没想到英国人也一样蠢）
因此，康托尔本人发现了困难就不是微不足道的事情了。他已指出了存在着越来越大的
超限集和与之相应的超限数。1895年，康托尔开始研究由所有集合组成的集合，它的基
数应该是能存在的最大数了。然而，康托尔已经证明过一已知集合的所有子集构成的集
合，其基数大于这已知集合的基数，因此，存在着一个比最大的数还要大的超限数。康
托尔认定人们同时必须要区分开他所称为相容的和不相容的集合，并在1899年就此写信
给戴德金，意思是不能谈论由所有集合组成的集合及其基数。
当罗素第一次看到康托尔关于所有集合的集合的结论时，他并不相信。他在1901年的一
篇随笔中写道，“康托尔一定犯了某个微妙的小错误，我会在将来的某些工作中对此加
以阐明。”他还补充说，一定存在着一个最大的超限集合，因为如果什么都考虑进去了
，那么就没有什么可以增加的了。罗素致力于这件事，并给这个当时时髦的问题又加上
了他的“悖论”。对此，我们将马上予以讨论。16年后，当罗素重印他的随笔《神秘主
义与逻辑》时，他增加了一条注脚对他的错误表示歉意。
《数学：确定性的丧失》读后感(十)：值得每一位上过中学的中国人阅读的好书
对于经受中国式数学工匠训练的国人来说，这本书很值得一读。一直以来，对于我们的教育方式有些不同的见解。其实很多情况下，遵循人类科学发展的路径来教育学生才更有效率——因为它更符合人类的认知规律。像我们这种培养工匠的方式常常无意间抑制和抹煞了创造力和探索精神。
这本书给了我们一条完整的线索，让我们与大师一道重温数学发展之路。从中可以体会到人类是如何从懵懂状态发展出今天强大而丰硕的数学学科的。作者漫布于全篇的精辟评论，能够帮助我们更深刻地了解数学，乃至人类所有知识体系的发展规律。
希望我们的中学教育不再仅仅是“对已知知识的灌输”，而同时重视保护和培养学生们发现未知的兴趣和能力。这才是以人为本的教育，而不仅是技能的训练！