数学世界的探奇之旅读后感1000字

　　《数学世界的探奇之旅》是一本由布赖恩·克莱格 (Brian Clegg)著作，中信出版社出版的平装图书，本书定价：CNY 49.00，页数：296，特精心从网络上整理的一些读者的读后感，希望对大家能有帮助。

　　《数学世界的探奇之旅》精选点评：

　　●2019年297本：虽然是通俗科普，但是难懂程度随着章节呈指数级别，在集合论和无穷大讨论时候到达顶峰，物理方面讨论总有启发，对夸克和对称性，时空纠缠性好似有点领悟，好像没有

　　●本书描写了数学与现实之间的关系。 数学产生于现实之中，随着时间的推移，数学与现实之间的差别越来越明显。 数学可以脱离现实，可以作为我们理解现实世界的工具，但是所有的数学工具都必须恰当运用。

　　●实则是围绕数学与现实世界之间的交互关系展开的，为什么要改书名，想来大概是这本科普后段的基础实在有点太高……但虽然不能完全理解公式及运用，读起来还是异常兴奋啊w

　　●1把数字背后的奥秘揭示给你，这是一个好老师应该有的语言魅力 2以数学为基础构建得世界的虚拟本质

　　●与其说是数学探奇，更贴切说，是数学历史和物理学发展中的数学应用。自然数和基本几何之后的概念，例如微积分黎曼几何，都是点到即止，蜻蜓点水一般不深刻

　　●和另一本书 《天才引导的历程》 一样, 通过数学史的发展历程 介绍一些伟大的定理和数学家

　　●说起来真有点自不量力，一个数学学渣鬼使神差带了这本书回家读，结果自然和学生时代学习数学课程的历程一样，前三分之一是懂的，然后就没有然后了。其实每个章节并没有过多的联系，完全可以当成单独的科普文来读，连起来呢又变成数学的简明历史，语言比较轻松，一直在拉进数学与现实的关系，强调其应用性。不得不承认人类的脑洞，感觉数学就是一套人类自定义的规则，而数学家们就在新世界里狂舞，延伸出的边际正效应又狠狠推了现实世界一把，人类就是在一群精英的狂舞中不断前行。

　　●作者主要探讨了数学与现实世界发生的联系，数学与科学的关系，观点很客观，目前的纯数学已经脱离现实世界太远，变成展示数学家智力的工具了。推动世界进步的是科学，虽然科学在一定时期内总有其局限性。

　　●神书

　　●按需。

　　《数学世界的探奇之旅》读后感(一)：越看陷得越深

　　如果说宗教是另一种政治秩序而存在，则物理学则因宇宙的秩序而存在。

　　牛顿的第三定律反映数学的对称性，而数学的对称性激发量子色力学的发展，而量子色力学又可与艺术相关联。各学科之间的关联是无形而又有形的存在，如同连接质子和中子之间的胶子，也许无质量，但不可否认的存在。

　　中午超困的时候看看数学及物理学，打击瞌睡因子[呲牙]

　　《数学世界的探奇之旅》读后感(二)：一个文科生的膜拜

　　作为一个数学曾经考过5分（百分制），见到数字就腿软的人，我竟然莫名其妙地被这本书吸引了。大概是封面好看的配色，以及书名下方的那一行字：品读数学与人类的浪漫故事。

　　我从小都是号啕大哭着学数学的，从来没觉得数学有什么浪漫。

　　翻开以后，有一句话引起了我的注意：

　　毕业多年，我现在连除法算式都不会列了，“真因数”这三个字对我来说，陌生得就像二极管、C什么语言似的，可不知怎么，我就是想知道这两个数儿凭什么最浪漫。于是我前去询问同事大井，一个衡水出身的学霸，她热爱物理和宇宙，却令人费解地来到了出版社工作。

　　我俩争执了起来，我执拗地认为真因数是“1，2，3，5，7”那一堆数字（后来我知道了，那叫质数），她说真因数是另一堆数字（忘了是什么了，反正也不对）。一番查阅之下，我们终于明白了，真因数就是不包括这个数本身的约数，6的真因数就是1、2、3，不包含6。

　　所以220的所有真因数加起来，就是284。而284的所有真因数加起来，是220。

　　这太奇妙了！毕达哥拉斯是怎么发现了这一点，一个数一个数地拆分着实验吗？我俩惊呼了好一会儿。答案就在书中。这一章的标题也起的很有意思：“毕达哥拉斯：万物皆是数字”。

　　毕达哥拉斯把220与284这一对数字称作亲和数，他的门徒们甚至认为这两个数之间存在着爱情关系。珠宝商也用这一对数字做过文章，曾经有一种项链，可以对半拆开，一边刻着220，一边刻着284。如果现在哪儿有卖这种项链的，我一定买。

　　原来，我一直觉得数学不浪漫，只因为我单纯地把这门学问看成了加减乘除，看成了冰冷的公式和几何图形。我从来没有想过数字背后的那些人，当初在一堆草纸上推算演论的人，他们渴望知道这个宇宙本质的真理，身上又何尝不散发着人文主义的光芒。

　　从这件事中，我还有了另一个发现，大井的数学其实不怎么样。

　　《数学世界的探奇之旅》读后感(三)：数学的世界里，只有难吗？

　　以前找书看，特别地随心所欲，对什么题材感兴趣就看什么题材，不计较这个题材是“有用”还是“无用”。现在看书，有一小部分会不自觉地关注育儿话题，比如最近跟风入的《自控力成就孩子一生》；又或者在阅读中会下意识地思考：书里有没有什么东西可以分享给孩子？

　　《数学世界的探奇之旅》的首章写道：

　　“数学的乐趣来源于数学难题和各种娱乐活动。当你的大脑为解决数学难题而飞速运转时（比如说，数学告诉你无穷大也有大有小），你就能深刻体会到数学的乐趣了。”

　　这段话和书封上的“品读数学与人类的浪漫故事”激起我内心的一点小九九。我希望能通过合适的方式培养孩子对数学的学习兴趣。因为数学很重要，但它真的很难。今天在朋友圈看到老同学晒的儿子一年级数学习题：

　　一年级？要不要这么玩？！我担心孩子会不会在体会到数学的乐趣之前，先被数学的难度吓倒了。所以，读这本书的初衷是想挖掘数学的趣味。但是，结果些许沮丧，书里不少内容连我这个理科生麻麻竟然都没能看明白……能跟臭宝分享的，大概只有史前人类的计数方式了。

　　当然啦，这并不是说这本书不好。作者布赖恩·克莱格（Brian Clegg），剑桥大学物理系毕业、畅销科普作家，以数学史的发展为脉络，历述多位重要的数学家、物理学家甚至哲学家们与数学之间擦出的壮丽火花，他们点燃了数学的神奇和伟大，令人震撼。数学，起于现实生活的需要，却又能超脱现实的束缚，在一个梦幻般的世界里灵动。科学家曾经借助数学的魔力预言了小到中子，大到黑洞的存在！他们发明了现实中不存在的虚数，以解决现实中科学家和工程师的棘手难题。多么神奇！

　　我还清楚记得大学微积分老师捏着白色粉笔，面对刚刚激情澎湃地完成整整一黑板的公式推导，忘情地张开双臂，感叹：“太完美了……”数学不该只有“难”，它本是个充满魅力的世界啊～

　　《数学世界的探奇之旅》读后感(四)：摘抄

　　第1章 虚拟的“居民”？

　　415年，奥古斯丁[插图]说：“我们面临的危险……是数学家与魔鬼订立了契约，他们要玷污人类的灵魂，把人类牢牢地羁押在地狱之中。”显然，他在几何课上也没有找到多少乐趣。（这句话有一定的误导性。通常而言，奥古斯丁对学习数学是持支持态度的。引言中的“数学家”一词其实应该译为“占星家”，但是，从中仍然可以看出很多人对数学持有消极态度。）

　　四舍五入也能算的？

　　康维德公司生产的一种“浓度为1%—25%”的银基溶液受到专利保护，而它的竞争对手施乐辉公司生产的竞争产品是浓度为0.77%的银基溶液。

　　康维德公司生产的一种“浓度为1%—25%”的银基溶液受到专利保护，而它的竞争对手施乐辉公司生产的竞争产品是浓度为0.77%的银基溶液。

　　第2章 史前人类的计数系统

　　抽象的整数不仅可以用于计数，而且效果非常好，这实在令我吃惊。我曾经试图向朋友们介绍我的这种心情，但是他们几乎都无法理解。6头绵羊加上7头绵羊，就有13头绵羊，6块石头加上7块石头，就有13块石头，这样的结果难道不令人吃惊吗？宇宙间竟然有像数字这样简单的抽象概念，难道不是奇迹吗？我认为，这个事实强有力地证明了数学的神奇性达到了我们难以想象的程度。

　　第3章 毕达哥拉斯：万物皆是数字

　　在痴迷于整数的毕达哥拉斯学派看来，这种关系具有让人无法抗拒的魔力。在我们看来，这种关系仅是一个有意思的现象，在人们问起“为什么要用220这个数”时你可以卖弄一番，也可以把它变成一个私人的小秘密。但是，在把数字视为万物基础的毕达哥拉斯学派看来，这些数字显得尤为重要，应该被供奉在重要数字[插图]的神殿之中。在探索宇宙奥秘时，如果完全依赖于数学（具体地说，就是整数），就会眼前漆黑一片，看不见前方的道路。

　　没有看懂希腊人怎么理解分数的

　　我们不清楚芝诺是否真的不明白其中的道理，但是古希腊数学完全可以解释这个奇怪的悖论。事实上，由于古希腊人理解分数的方式非常独特（从我们现代人的角度来看），而且他们研究数学时使用了一种非常直观的方法（他们对于几何学的热情经久不衰），所以对于他们来说，这个问题很好解释。古希腊人对整数有一种难以割舍的感情，在他们的心目中，“2”（用字母β表示）的意思是“两个单位组成的集合”。这个概念难以表述，但是与我们现在的理解存在微妙的差别。

　　总的来说，我们不清楚实数是不是“真实”的——考虑到它与宇宙的本质直接相关，而不是一个数学概念。在数学中，圆的周长与直径的比值是无理数π，但是在现实世界中，我们从来没有也不可能完美地实现这个比值。即使我们通过某种方法画出一个完美的圆，但是鉴于它是由原子构成的，我们仍然需要考虑粒度问题。无论物质世界之中的这个圆是如何构造的，无论它是一块圆形金属还是纸上画出来的图形，都不会具有完美的连续性。这就意味着我们永远无法在我们构建的实物与数学的预言之间建立理想的一一对应关系。

　　宇宙可能无边无际，某些量子特性可能与实数保持一致，但这仅仅是一种可能，而实数很有可能只是现实世界的一种近似表示。

　　第4章 欧几里得：几何定理的完美证明

　　理型

　　想到数学可以彻底摆脱我们所在的物质世界继续存在并发挥作用，我们不禁要问，欧几里得的研究对象是现实世界吗？答案是否定的。但是，这并不说明他的研究就毫无价值。欧几里得几何学为现实世界绘制了一幅逼真的画像，非常珍贵，但它描绘的却不是一个真实的世界。也许最能说明欧几里得定理与现实世界具体对象之间关系的就是柏拉图的那个隐喻。这位成名时间比欧几里得早几百年的哲学家设想了一个犹如天堂般完美的宇宙，在这个世界里，欧几里得研究的那些数学概念是可以存在的。这些完美的图形和物体具有某种超现实性，而我们在现实世界里感知的那些图形和结构仅仅是这些纯净原型的投影。

　　你也可以说数学就是大家共同创作的一部科幻小说，是一个所有数学家都愿意和谐共处的精神世界。但是，这个世界不允许存在科幻小说的天马行空，这里的所有规则都必须明文规定并得到一致认可。任何数学内容，只要遵从了这些规则，就会得到认可，无论它是否与现实世界存在相似之处。但是，经常有人提到一个事实：很多数学内容不仅与现实世界有相似之处，而且在反映现实世界真实情况这个方面具有异乎寻常的能力。其中的原因可能仅仅在于数学的基本结构中有很大一部分（例如整数运算的本质）是基于对现实的反映，但是，在我们摸清了数学世界的真实情况后，我们就会重新思考是否有其他原因。

　　第5章 阿基米德：用沙粒填满宇

　　其后的一大段详尽介绍了阿基米德的论证

　　阿基米德告诫革隆不要错误地认为地球上的沙粒无法数清，或者以为沙粒的数量为无穷多。他还明确地告诉革隆，他所说的沙粒“不仅指叙拉古附近和西西里岛其余地方的沙粒，还包括地球上所有其他地方的沙粒，无论有没有人居住”。但是，之后他把地球上的沙粒数量这个问题放到一边，着手证明他可以找到一个数，用来表示填满宇宙所需的沙粒数量。

　　第6章 斐波那奇：阿拉伯数字的登场

　　集合论？

　　当我们有了“无”这个概念之后，在不知不觉间，我们就不再只用一个数字专门表示数量与实物之间的对应关系，而是用到了容器。

　　数轴上既有正数，也有负数。问题是，当数值小于1且朝着负值的方向移动时，会出现什么情况？公元纪年法是人类实践活动中最早出现的数轴之一，它在这个问题上就犯了错误。525年，僧侣狄奥尼修斯·伊希格斯发明了这套公元纪年系统。8世纪30年代，历史学家比德对其进行了推广。到9世纪，这种纪年方法已经得到了基督教国家的普遍认可。在这种纪年系统中，公元元年（AD 1）之前是公元前1年（1 BC），竟然没有公元0年。这种情况直到今天也没有更正过来。

　　斐波拉契引进了阿拉伯数字？

　　斐波那奇不仅把阿拉伯数字（后演变为现在通用的阿拉伯数字）引进到西方，还为我们创造了“zephirum”这个词。该词可能译自阿拉伯语的“sifr”，它指代一个特殊的数字，以直立的蛋形符号表示。这个数字就是0。

　　662年，一位名叫塞维鲁·塞博赫特的叙利亚主教指出，“印度人”在天文学领域有了“一些微妙的发现”。他还特别强调说：“他们的计算方法极有价值，他们的计算能力高超到了难以形容的地步。更令人难以置信的是，他们在计算时竟然只使用了9个符号。”给塞博赫特留下深刻印象的是不包括0在内的其余9个数字，从这里可以看出古希腊学者的眼光是多么狭隘。

　　对啊，我也在想，中国古代是什么时候出现0的？

　　正统的数学史肯定需要认真研究中国、南美洲和中美洲的数学发展情况，尤其不能忽视早期印度数学家的研究成果。

　　第7章 培根：数学是自然科学的钥匙

　　伟大的物理学家欧内斯特·卢瑟福嘲笑说，在培根眼中，“科学研究，除了物理，就是集邮”

　　这一章简直是牛津大学黑历史

　　学校当局没有弄明白一个问题：市民逼迫绞死无辜学生，与市民插手学校内部事务，这两种情况到底哪一种更难以忍受？结果，有70名老师（在全体教职人员中占相当高的比例）离开牛津市，来到东英吉利亚地区的一个名叫剑桥的落后小镇，加入了不久前创立的几所学校。

　　当时，西方国家普遍认为巴黎大学是最好的三所大学之一，另外两所是牛津大学和剑桥大学。

　　哈哈哈哈

　　回到英格兰之后，培根很快就加入了一个成立不久的宗教团体——方济各会，原因可能是他的钱花完了。

　　第8章 高斯：神通广大的虚数

　　这里还是没讲清楚为什么一定要用复数

　　我们也许会认为，这不过就是将坐标系上我们都非常熟悉的x轴、y轴换了个名称而已。但是，有了这个变化之后，我们就可以把复数当作普通数字进行代数运算，应用代数学的所有法则和方法，并最终得出适合这个二维空间的结果。事实证明，复数是描述各种波的理想选择，因为这些波天然地具有二维的形态。

　　虚数提供的是一个现实世界所没有的工具。我们可以将现实世界的难题搬到虚数世界中，用虚数提供的特有办法加以解决，然后再把它们送回现实世界。自然数非常简单，我们可以认为它们与一个物体或者一群物体存在直接的对应关系。虚数和复数则活跃于一个平行世界中，但它们仍然可以启发我们，帮助我们了解物质世界的奥秘。

　　第9章 牛顿：微积分与宇宙观

　　从他留下的笔记来看，牛顿的流数术显然是花费了20年的时间才逐渐成熟的。

　　怎么解决的呢？

　　牛顿可以说结果趋近2t，是因为o趋近0，但是这个无穷小量永远不会真正等于0。从数学的角度看，这个解释只能算语焉不详、理由不充分的权宜之计。直到19世纪，才有两位数学家为微积分堵上了这个漏洞，彻底解决了这个问题。

　　摊手

　　卡尔·魏尔斯特拉斯引入了极限的概念，这是我们今天仍使用的标准方法。有了极限的概念，我们就可以把某个终值确定为某个变量为无穷小时得到的极限值，条件是终值接近这个极限值的速度快于某个最低限度。魏尔斯特拉斯通过严格的证明告诉我们，只要接近极限值的速度足够快，微积分的方法就肯定有效。从某种意义上说，魏尔斯特拉斯在微积分计算的过程中抛弃了潜无穷的概念，而只要求接近极限值的（有穷）速度必须足够快。

　　去掉时间这个因素，我们也能通过惯性和质量来区分物体的运动状态，那么是否意味着，时间并非真实存在，而只是后两者在人类认知中的体现？

　　微积分要求我们想象瞬间发生的情况，然而在极其短暂的瞬间，任何事似乎都不可能发生。古希腊哲学家芝诺提出的一个著名悖论——飞矢不动悖论，反映的就是这个问题。尽管下面的这个设想与飞矢不动悖论在文字表述上有所不同，但这是想象飞矢运动情况的最有效办法：我们可以想象一共有两支箭，一支飘浮在我们眼前的空中，静止不动，而另一支箭从弓弦上射出，闪电一般从第一支箭旁边飞过。 假设在第二支箭与第一支箭并排的一瞬间，我们冻结时间，然后研究这两支箭。在那一刻，这两支箭似乎一模一样。一支箭在运动，另一支则没有运动，但两支箭都悬浮在空中。芝诺说，我们不能区分两者状态的不同，说明我们对运动和变化的理解是非常片面的。 现在，我们知道这两支箭的物理属性在某些方面明显不同：那支运动的箭有惯性。尽管在时间静止的状态下我们无法感知这一点，但是惯性依然存在。此外，狭义相对论明确指出，物体在运动时，质量会变大。因此，如果古希腊人有能力，就可以比较两支箭的精确质量，从而区分它们的状态。

　　第10章 卡尔达诺：概率与“水晶球”

　　结果是否诱人，决定因素似乎不是期望值，而是你的个人情况。到底选择哪一种票面，可能要看10美元在你的日常生活中具有什么样的意义。

　　因为公平比利益更重要

　　这个游戏会设立一笔小奖金（例如1美元），由两名玩家展开博弈。第一名玩家告诉第二名玩家这笔钱的分配方案，第二名玩家可以说“行”或者“不行”。如果第二名玩家说“行”，这笔钱就会按照第一名玩家制订的分配方案进行分配。如果第二名玩家说“不行”，那么他们两个人都不会有任何收获。 经济学家和逻辑学家都认为，只要第一名玩家不打算独吞这笔钱，第二名玩家就会接受他提出的任何分配方案，因为拒绝接受意味着一分钱也拿不到，这样的决定似乎太不合理了。你可以问任何人一个问题：“如果有人白送你一些钱，你会拒绝吗？”答案通常是：“当然不会！”但是事实上，如果第一名玩家分给第二名玩家的钱低于奖金总额的30%，第二名玩家通常就会拒绝接受。这

　　概率和统计学已经成为许多科学家手中威力巨大的武器。但是，事实证明，如果这些科学家的数学造诣不深，滥用统计工具就会造成一系列问题。毫无疑问，数学很有用，在科学研究中可以发挥重要作用。但是，如果过于重视统计学的“证据”作用，不仅对科学研究没有任何益处，还会导致我们在得到看似正确的数据之后做出错误的判断，还自以为揭开了天地万物的奥秘。

　　一言以蔽之，只要运用得当，概率与统计学可以和现实世界实现完美的契合。这样说是有道理的。我们不是利用抽象的数学为现实世界的某个过程建模，而是测量现实世界的某个基于数据的事实或准事实（例如，“抛一枚质地均匀的硬币，得到正面和反面的概率都是1/2”），并在确认这个数据事实成立之后才使用相关的计算方法。与其说我们利用数学探索宇宙的奥秘，不如说我们是在使用数学研究数字的秘密。

　　这章介绍了统计学中常见的一些错误做法

　　即使在使用概率和统计学这两大武器时没有犯错误，我们也会遇到一些问题，主要是因为我们无法轻而易举地洞悉一切。我们通过规律去认识、了解周围的世界，即使有的时候根本不存在任何规律，我们也能“找到”规律。尽管我们知道事件的随机性与非正态分布是它们的真实属性，但我们却感到不舒服。正因为如此，即使专业人士在使用基于概率的统计工具时，也必须小心谨慎。

　　第11章 麦克斯韦：关于电磁波的数学方程组

　　最终版本的麦克斯韦方程组浑然天成，充满美感，完全摆脱了与物理现实的联系，是直接源自数学公式的产物

　　第12章 康托尔：让一众科学家挠头的无穷大

　　亚里士多德最终断定无穷大不是一种存在于现实世界的概念，而是一种潜在的可能性，在现实中永远无法实现。无穷大是存在的，但是不能根据需要变为现实。

　　牛顿和莱布尼茨创立微积分的时候，使用的正是潜无穷的概念（参见第9章）。微积分中的无穷大是一种极限。我们非常熟悉的双纽线符号（∞），表示的就是这种可望而不可即的目标，也就是亚里士多德所讲的潜无穷。与牛顿同时代的约翰·沃利斯在一篇枯燥乏味的论文中第一次使用了这种符号。但是，沃利斯仅仅说了一句“用∞表示无穷大”，却没有解释这个符号从何而来。

　　萨尔维亚蒂说，每个自然数都对应一个平方数。辛普利西奥欣然同意这个说法。接着，萨尔维亚蒂又问他，自然数有无穷多个，而且每个自然数都对应一个平方数，那么这些平方数的个数是不是等于正整数的个数呢？答案显然是肯定的。但是，正整数中还有很多数本身并不是平方数，例如2、3、5、6、7等。也就是说，每个平方数都会对应一个自然数，而自然数的个数远多于平方数。

　　伽利略通过这番讨论明确地告诉我们，传统的运算法则不适用于处理实无穷。此时，“相等”、“小于”、“大于”等概念也会失去它们的传统含义。我们可以说一个无穷集（例如正整数集）可能包含无穷子集（例如平方数集）。伽利略笔下的这三个人之所以遭遇麻烦，原因之一就是他们把无穷大看作一个数字（伽利略就是这样想的）。我们现在不会把无穷大看作一个数字。我们可以说某些事物构成了一个无穷集，但不会说这是一个无穷大的数字。

　　康托尔是一名数学家，但是由于他坚信无穷大是一种真实的存在，再加上其他数学家都认为他是在引火烧身，所以，不仅他的职业生涯充满了艰辛，他的精神世界最终也轰然倒塌。康托尔认为，数学和数学家都可以接受无穷大真实存在这个赤裸裸的事实。他试图证明有比无穷大还大的存在。这项似乎根本不可能取得成功的研究，在现实世界中没有明显的实用价值，但康托尔取得的成就并不只是这些。

　　集合论对数字进行了形式上的定义，而且这个定义显然是以现实为基础的，但它又摆脱了现实的束缚，卓尔不群地屹立在柏拉图洞穴外面的数学世界之中。集合论对于数学的意义就相当于原子论对于科学的意义。我们曾经懵懂无知地生活了几千年，但是在接受了原子的存在之后，我们就认同它们是构成自然界的基本单位。同样，在几千年的时间里，数学研究并没有因为集合论的缺失而令我们感到任何不适。但是，集合论问世后就立刻变成一切数学研究的基础。

　　描述集合的大小（也称集合的势）非常有用，无论这些集合的大小是否可以表示成数值的形式，我们都可以通过势来比较大小。如果我们设想将两个集合并排，让两个集合的元素结成对，并且形成一一对应的关系（一个集合中的每个元素都能在另一个集合中找到唯一一个与之对应的元素），那么无论我们是否知道这些集合的大小，我们都可以说这两个集合等势。在研究无穷大的概念时，上面说的形成一一对应的关系将发挥非常重要的作用。

　　康托尔发现，无穷集一定包含一个与自身等势的子集。

　　皮亚诺公理

　　意大利数学家朱塞佩·佩亚诺就已经利用集合来定义自然数了

　　从逻辑上讲，“我说的这句话是谎言”这句话与“非元素”集合有相同的效果，都会导致自相矛盾的结果。事实上，罗素要告诉我们的是，集合论有一个固有的内在矛盾，这是数学家无法容忍的。但是，集合论仍然是数字本质和简单算术的基础。

　　这。。。这段除了要搞乱大脑之外，还有什么用处？

　　在不发生重叠的情况下，这些雨伞最多可以覆盖数轴的1个单位，在发生重叠时，覆盖的长度就更小了。总宽度仅为1的物体集合竟然把无限延伸的直线都遮盖住了，你是不是感到困惑不解啊？这就是无穷大给我们的大脑带来的冲击。

　　“随机选择”并不能被视为一个有效的数学方法。我们可以不考虑任何特殊原因，从一系列物理对象中随机选择一个，但是利用数学方法完成随机选择的难度非常大，因为很难定义到底如何选择才算真正做到随机，除非集合的元素数量已知。

　　这两个可能的结果充分显示了数学的本质和它与现实世界的关系。集合论绝对是我们每天都要使用的实用数学的基础之一，然而集合论自身在选用公理这个方面却具有随机性。一条道路通向光怪陆离、令人向往的数学世界，另一条道路则更贴近我们心目中的现实世界。就纯粹数学而言，这不是问题，只能说明我们使用的是两个不同的数学系统，就好比有的数学系统是建立在维度多达数千而且与现实世界毫不相干的基础之上。但是，作为科学的基础，我们还是希望找到一条具有唯一性和确定性的数学道路。

　　没有状态的变化，就不会存在时间

　　如果宇宙膨胀到一定程度，之后再也不会发生任何变化，宇宙就走到了尽头。在这种情况下，我们有理由相信时间已经不存在了，因为时间的流逝将没有办法表示。

　　与令人尴尬的物理学领域的无穷不同，康托尔研究的数学领域的无穷对日常生活与科学研究从未产生任何重大的影响。从研究数字与现实之间关系的角度看，我们更想知道哥德尔的研究成果，以及选择公理因为自身问题而导致的随机性到底会产生什么样的影响。集合论是数学的基础，但它自身却有一个有趣的缺陷。或许这些新发展的最大意义是告诉我们，将数学视为现实世界的直接基础，会带来一定的风险。果真如此的话，就意味着现实也具有随机性。

　　第13章 爱因斯坦：量子物理与抽象数学

　　爱因斯坦改进伽利略相对性原理的第一个成果——狭义相对论，对数学水平的要求并不是太高，所以实在没有理由将它排除在中学课程之外。

　　这句话有点费解。其实它的意思是说，根据麦克斯韦方程，如果光失去了它的速度，它就不再是光。

　　一旦光的传播速度不等于光速的定义值，光将不复存在。

　　这句话与上文不连贯。前几章也有这类词不达意的情况，是翻译的锅？

　　如果伽利略的相对性原理是正确的，情况就会大不相同。

　　所以时间是力的结果？

　　两个双胞胎姐妹参与了一项飞船任务。其中一个人是任务主管，另一个人是宇航员，后者要乘飞船以接近光速的速度飞行，执行一个长期任务。假设任务开始时两姐妹正好30岁，至任务结束时，“宇航员”感觉时间过去了5年，但是她发现留在地球上的姐姐却长了10岁。 如果相对性像上文所说的那样具有完全对称性，那么这个思想实验似乎不应该出现这样的结果。在飞船以恒定速度飞离地球时，对称性应该始终发挥作用。但是，这种对称性随后发生了改变。在某个时刻，宇航员必须向飞船施加一个作用力，让它减速，然后加速返回地球。抵达地球时，她需要再施加一个作用力，使飞船的运动速度等于地球的运动速度。这个变化只发生在飞船上，而没有发生在地球上。在它的影响下，时钟被校准了，所以宇航员感觉时间只过去了5年。

　　值得注意的是，空间站高度上的地心引力强度与地面其实非常接近，大约是正常地心引力的9/10。造成宇航员失重感的原因是空间站正在垂直下落，就像从建筑物上掉下来的人一样，正在做自由落体运动。两者之间唯一的区别是空间站还在向侧方高速运动，因此，尽管它一直在下落，却怎么也到不了地面。这是进入运转轨道之后必然产生的结果：一直在下落，却怎么也到不了地面。

　　苹果掉落是时间弯曲的结果？！！

　　静止的物体（例如苹果）为什么会突然加速落到地面上呢？这里，我们需要了解一个重要的事实：发生弯曲的不是空间，而是时间。尽管苹果在空间中保持静止，但在时空中却不是静止的，因为时间一直在滴滴答答地流逝。也就是说，苹果加速掉落是时间弯曲的结果。

　　第14章 诺特：对称之美与隐形恶龙

　　数学不一定要与物质世界有相似之处，这不是它与生俱来的使命。原始社会的人费力地掰手指计算山羊或者玉米的数量时，可能会与现实世界形成直接的联系，但是人们很快就发现，负数及其平方根并不存在于我们周围的世界中。然而，即使引入这些量，也没有使数学失去意义。对于研究纯粹数学的人而言，与现实世界脱节不会导致任何问题

　　在纯粹的数学研究中，现实世界的所有限制条件都无须考虑。不喜欢2 + 2 = 4，是吗？觉得有点儿厌烦？那么，我们可以让2 + 2 = 5，然后看看有什么结果。这个等式在数橘子时可能不成立，但在数学世界里却是完全有可能成立的

　　第15章 数学的力量？

　　：“原来你真的在捉弄我。人口怎么可能与圆的周长有关呢？”维格纳是在一个讲座的开场部分讲述了这个故事的，目的是解释“数学在自然科学中不可思议的有效性”。他认为，这种不可思议的有效性表现在两个方面。第一，数学可以出人意料地应用于某些看似不相关的领域（例如，在研究人类行为时，π的出现就会令人感到奇怪）。第二，我们不能因为这些数学概念具有相同的规律，就断言这些数学概念与现实之间存在某种联系。这可能只是一种巧合，而我们在实验时正好碰上，因此效果不错。但是等到明天，或者当我们将它应用于另一种情况时，它也许就不适用了。

　　我们看到数学家正在不断突破可能性的限制，尽可能地拓展数学的应用领域，提出了一系列在逻辑上不会产生冲突的概念。即使搭建而成的完整结构在现实世界中没有实用价值，也找不到与之匹配的对象，他们也乐此不疲。与此同时，他们还为自己的所作所为感到震惊、困惑。之所以有这种感觉，是因为这些数学家（他们也是凡人）在创造一个个小世界，并取得数量众多而且和谐统一的成果（尽管有时候需要修改规则，例如将1从素数集中剔除）。与此同时，这个过程也会让外行人感到困惑，因为他们认为有的成果除了可以用来炫耀自己的智商以外毫无意义，却仍然有人愿意耗费时间和精力，从事这方面的研究。

　　科学界有一句老话：“传闻再多，也不是数据。”即使我们有某种亲身经历，也不意味着大脑对这些经历的解读就是有效的科学模型。即使我采取顺势疗法之后感觉很好，我也无法判定自己是在这个疗法的帮助下恢复健康的，因为我没有合适的比较标准。我感觉不错的原因可能有很多种。最有可能的原因是我的健康状况真的有所好转，也有可能只是我的感觉很好，但身体状况并没有真正得到改善。也就是说，我们必须清醒地认识到，不变性假设并不意味着我们可以把道听途说当作科学证据。

　　但我仍然认为宇宙的本质不是数学。只不过，某些（并不是大多数）数学内容的基础是现实世界的观察结果。实际上，数学是一个功能强大的工具，可以帮助我们建立宇宙模型，而模型一定有其局限性。在这里，我要再次引用维格纳的话：“我们根本不知道我们的理论为什么如此有效，因此，它们的精确性并不能证明它们的真实性与一致性。”维格纳有力地指出，即使基于数学的理论可以做出有效的预测，也不一定意味着它具有某种价值。

　　下面是一个预测明天早晨太阳是否会升起的计算机程序：如果年份<3000输出“太阳将会升起”否则输出“太阳不会升起”结束这其实是一个数学模型，但大多数人更熟悉计算机程序的逻辑结构，而不熟悉数学的符号结构。我可以告诉大家，在公元3000年之前，这个模型的预测结果都不会有任何错误，但是到了公元3000年，它就会出错（我希望如此）。你也许会说，我输入的具体日期与现实之间没有任何联系。但是，从一定意义上说，这就是我举这个例子的目的所在。我们也不知道自己输入科学模型中的那些常数、公式是否与现实有关联，我们只知道其预测结果与我们观察到的现实非常吻合。但是，这些模型的内容与现实之间的联系，不一定比我编写的那个高度精确但是毫无价值的计算机程序与现实之间的联系更紧密。

　　据称，20世纪上半叶，美拉尼西亚群岛上的居民由于货机崇拜而将飞机模型与真正的飞机混为一谈（对于货机崇拜这个现象，历史学没有确定的结论，反而是神话传说表现出一副言之凿凿的样子）。我认为，有些科学家同样把他们的模型与现实混为一谈了。

　　正因为因果关系难以确定，所以人们很难判断不同的饮食方法到底会对人类健康产生什么影响。例如，科学家可能会注意到大量食用西红柿的人患心脏病的概率低于普通人，但是我们不能就此认为只要多吃西红柿就一定能改善我们的健康状况。我们长期生活在一个异常复杂的世界里，这与控制措施严密的实验室不同。我们将发现，大量食用西红柿的人与那些常吃垃圾食品的人还存在很多其他不同点，其中最重要的不同点或许与西红柿根本没有关系。

　　在实验室里工作的物理学家无须面临如此恶劣的条件，但是在难以实施控制的科学领域（例如宇宙学），研究人员却会遭遇同样的问题。在实验室中，科研人员也可能遇到异常复杂的情况，或者需要通过非常曲折的方式进行间接观察。例如，在大型强子对撞机项目中，探测器提供的探测结果就非常复杂、极其混乱。在这种情况下，我们很有可能受到诱惑，忍不住使用某种数学方法，原因是这个方法“似乎是正确的”，它给人一种难以抗拒的美感，而不是因为观察结果要求我们必须采用这种数学方法。结果，虽然我们的数学模型可以产生大量与实验结果相吻合的数据，但是模型本身却与现实没有任何联系。对数学的过分依赖，已经引起了若干当代物理学家的关注。

　　数学鸠占鹊巢，把实验挤到了次要位置，这让在著名的圆周理论物理研究所担任主任一职的尼尔·图罗克难以接受。图罗克曾发表了下面这番言论：自然为我们提供了这些不可思议的线索，但是我们并没有理解其中的含义。事实上，我们正在做着南辕北辙的努力，导致我们的理论越来越复杂、越来越不自然。我们搬来了更多的场、维度、对称，想尽一切办法解决这个问题，却没有解释最基本的事实。

　　从本质上看，数学研究的是真理和事实，这是数学与科学的区别之一。

　　然而，科学与数学在这方面有所不同。当科学家讨论137亿年前使宇宙开始膨胀的那次大爆炸时，他们描述的内容与我们通过书写2 + 2 = 4这个等式表达的内容有所不同，因为后者是一种事实，而宇宙大爆炸则是根据当前数据建立起来的最可靠的理论。

　　科学一直都是临时性的。科学的目的不是寻找绝对真理，科学的核心要素也不是事实

　　有人认为科学就是数学，或者数学就是宇宙的本质。尽管其中不乏才高八斗、智力超群之人，但是我认为，从数学与科学本质上的不同可以看出他们都错了。这两个学科，一个学科（数学）包含一系列事实，我们可以根据我们制定的法则确定它们都是事实；另一个学科（科学）则涉及一系列模型和理论，我们可以利用数据测试这些模型和理论，但是绝不可以称之为事实真理。

　　尽管数学可以脱离现实，但是我们必须让实用数学建立在物质世界的基础之上，使科学可以被所有人接受。那么，数字到底是不是真实存在的？我认为，数字从最基本的意义上看确实是真实存在的，但是大多数的数学内容则与之相反。数学就是一个梦幻世界，有时与我们身边的这个世界非常相似，是这个世界的完美反映，可以作为我们理解现实世界的工具。但是，所有的数学工具都必须恰当运用。只要我们（以及科研人员）牢记这一点，就不会犯下大错。