《数学家讲解小学数学》的读后感大全

　　《数学家讲解小学数学》是一本由[美] 伍鸿熙著作，北京大学出版社出版的平装图书，本书定价：78.00元，页数：508，特精心从网络上整理的一些读者的读后感，希望对大家能有帮助。

　　《数学家讲解小学数学》精选点评：

　　●已购。太牛了，以解答为什么为先，从原理入手。好早读书前必要重读，甚至重拾数学也完全可以从这本书开始~

　　●这本书值得每一位数学教育工作者阅读，太棒了！把基本原理讲得非常透彻！

　　●如其名，真正的数学家娓娓道来小学数学的来龙去脉，数学之美跃然纸上

　　●这样教孩子才学的好，需要重复

　　●“一旦给出了定义，我们就必须遵循他。许多人有的一个错误认识是，当定义能使人达到目的时才去用定义。这种对待定义（甚至是对待数学）的草率的态度，正是我们要努力摈弃的。”

　　●2019年3月9日读毕，此书根据小学生心理学特点，既有直觉讲解，也有推理讲解，感觉自己的小学数学大部分是学的记忆，没有从定义学起，推出所有算法。另外，这本书也介绍了小学数学概念和未来科学研究的关联。比如估算方法是基本的科学素养，计算机没有能力在百年内将大数分解为素数是密码学的重要基础。这样知道了基本概念在未来学习和研究中的用途后，学习的动力会更为充分，也会更有针对性。

　　●带余除法太有意思了，我马上去买了一本初等数论。另外我们小时候被老师挖了一个又一个坑还能学得八九不离十也挺不容易的。

　　●等我看懂“除法是什么”我会回来打分的

　　●我已经读了三遍了，最近在看 戴德金的essays on the theory of numbers，关于无理数与有理数的，为什么要看，因为我不懂啊

　　●有些地方还不如看陶哲轩的分析里的附录

　　《数学家讲解小学数学》读后感(一)：严重过誉的书

看了前面两部分。作为家长，本书对于辅导孩子没有多大作用，不值得一看。对于小学老师，我觉得也没有太大意义。

作者在自然数和小数的核心观点都是数轴，不论自然数还是分数的加减乘除都应该用数轴的理论来推导。作者否定小学教科书的朴素数学教育方法。如果用数轴来给小孩上课，估计没有一个小孩能理解。

比如分数的加法，通分这个1000多年前的方法，学生多容易理解啊。用数轴思维去证明，学生绝对会弄糊涂。比较分数大小，十字相乘法易懂好记，解题速度快。但是作者用了很大数轴篇幅来论证。

就问一句，老师或者家长小学生去灌输这种所谓的数学思维——“数轴”，小孩子能理解啥。小孩处于皮亚杰的“具体运算阶段”的思维，他们需要用看得见的东西来运算，四分之一的蛋糕这种方法来定义分数，更容易听懂。他们还远没到“抽象思维”阶段。小孩特别容易理解和记亿“十字相乘法”、“通分法”、“凑十法”。

故本人认为此书，不管对教师还是家长，都没有太大意义。给3分，是尊敬数学家作者。

　　《数学家讲解小学数学》读后感(二)：为了表达我对这本书的敬意，我决定按照此书的方式在自己孩子身上做个实验

本书从最质朴的数学观点一路出发，先是讲出了0~9这十个数或者说十个符号怎么自然随着文明进程延伸到了更多数，进而引出了位值制。并强调了这种构架不是信仰而是为了数下去的必然结果，这段论述令我非常惊讶，从来没有人告诉你学了十几年的数学的基础材料-----数字的本质是什么！随后作者讲到了加法定义，并用和现代数学定义完全一致的观点给出：从A点出发数B步到达自然数C，你用数轴和两岁半孩子用数指头都是这种地层的逻辑------连续数数或者跳步，作者特别强调了数轴的好处并强调了暂时的困难和将来得到的好处的性价比，但即使作者不解释这些也毫无问题。这本质上对立统一，在不同维度上的同义反复，这是你能接触的最原始的数形结合。作者体系的定义了加法并由加法定义了减法，并让你明白加法减法本质上都是数数或者跳步，只是这个跳步的因为针对不同的对象给出了不同的叫法。从A点出发数B步到达自然数C，跳了B步这个事实，站在起点A和终点C的角度，（跳了B步）它是A与C的差或者差距（减法）；针对终点C，从起点A出发并且跳了B步这件事，叫做（加法）。在你掌握了加法的概念的时候非常及时的给出乘法定义。乘法是本质就是加法，或者乘法是加法的一种缩写计数格式。进一步给出了幂的概念，幂的本质是累乘或者高级累加。并通过基本的加法交换结合率（人类都能理解哲学上称为先验），给出了连接加法和乘法的桥梁——乘法分配率。在这个过程中，作者甚至从乘法口诀表的一位数乘以一位数，仅仅利用乘法分配率得出了两位数乘以一位数，进而两位数乘以两位数，多位数乘以多位数，得出了无论如何乘法的本质是加法分配率的反复应用。这体系，我一个理工科毕业的人都跪了。作者的厉害之处是：仅仅通过最底层的定义把一切解释的非常自然。掌握了这些，作者又利用了乘法定义了除法，并将小学除法和带余数的不完美除法合二为一定义了普适的除法，并给出了小学除法只是余数为零的特殊情况，不要小看这一步，大学的高数的定义用的也是这种逻辑结构的定义。试图用最简洁的文字定义普适的情况。

作者从本质上论述了定义以及在定义下推导这种人类归纳法的本质，对任意孩子都是非常好的。

作者说简单是有效的，人类的底层逻辑特别简单，人生又是苦短。没有人会计算1122388个7265487暴力相加会是多少，但当你有了小学乘法表，你只是暴力背会了99乘法口诀表，用了一点人类的先验的能力和简单的乘法分配率，然后：砰！起飞了。把多位数乘法转化成若干个乘法口诀表上的一位数计算。知识的组合，加工打包，把线性知识变成了指数的知识。银河系目前是所有物质用人类理解最小单位也可以用个指数写在一张A4纸上，这让我们不同于普通动物。这让我对自己的童年的无趣充满了怨念，麻蛋天天都是乘法谁背得快，做的题多，做了无数道重复的题后，你练出了一种本能，有一天你明白了，不要问为什么，老子的目的就是能作对，这就是学习的目的，于是天天总结出题人的套路，并把套路归类，模块打包，最后你变的还行，高考数学也能130+,但，这对理解这个世界毫无意义。你对简洁的美毫无体会，对生活中的统计常识，对基本的逻辑悖论根本无法感知，不是谁的错，这个国家没有那么富有让小学老师达到这个水平，老师毫无动力去做这些探索。家长也不理解，家长要的只是在这场内卷游戏中达到幂律分布的最右侧。

回到这本书，通过自然数，作者后几章沿用之前的结构，给出了分数，有理数的讲法，一脉相承的教学结构，无与伦比的简洁类比。小学生的痛点作者心知肚明，为了解决这一切，作者良苦用心在第一章加法时就引用了数轴，这种和小孩掰指头同源同理的数形结合法，所有的目的都是在小数和分数时学生学习的自然流畅。 目的就是告诉小学生分数和小数本质上和自然数没什么等级差别，都是数轴上的一个点。

我决定完全按照这本书给自己上二年级的儿子讲一遍，我将实验下到底适不适合小学生，以及孩子的反馈，不教他这个不为他打高分，我希望他能明白知识是由一系列的公理推论构架的，任何人都能合理的学习数学而相对理性。至于进度，无所谓了

　　《数学家讲解小学数学》读后感(三)：学数学家讲解小学数学

　　《数学家讲解小学数学》并不是“数学家给小学生讲解数学”。实际上这本书是写给中小学数学教师的。我作为一名自发热的野生理工教育爱好者，看了这本书之后也颇感震撼。

　　就是那种业余玩家被职业选手教育后的震撼。好比野球场“梅西”碰上了踢中甲联赛的后卫，还有比“把球还来，我要回家吃饭了”以外更恰当的处理方式么？而且本书作者伍鸿熙教授在数学界的段位应该要高于中甲在足球圈的地位。

　　在我这样的普通人眼里，数学是一种工具。在科班的数学家眼里，数学就是数学。

　　现实世界里的很多问题都可以从数学中找到答案。我仿佛记得某位大师大概说过：“我们生活的这个物理世界的规律竟然能够用数学的方式来描述，这是我所遇到过的最神奇的事。”

　　但是数学本身并不是为了解释世界或者解决问题而存在。数学是一个建立在定义之上，从公理出发，通过逻辑推理得出各种自洽结论的封闭体系。不管有没有人，数学都存在着；不管有没有生活，数学都存在着；不管有没有世界，数学都存在着…也许世界的本质就是数学，也许确实存在着物质、能量和信息。但不管如何，数学就这么独立地存在着，一个柏拉图的王国。

　　对此，在《一个数学家的叹息》里有过一段令我瞠目结舌的评论：数学教育改革最悲哀的地方，是企图“要让数学变有趣”和“与孩子们的生活产生关联”。你不需要让数学变得有趣——它本来就远超过你了解的有趣！数学的骄傲就在与我们的生活完全无关。这就是为什么它是如此有趣！

　　牛×。

　　《数学家讲解小学数学》这本书最大的特点就是重视定义推导，而不强调应用解题。在普通大众的认识里，一个人“数学好”就等同于“头脑灵”。然而伍鸿熙教授所展现的恰恰是一种毫不灵活的，呆板到无情的数学。它只是从定义出发，一点点冷漠地向前推进，没有奇思，缺乏妙想，不抖机灵，人挡杀人，佛挡杀佛。

　　感觉这有点像练武功。你要是拜入民间流派门下，可能会更热衷于研发出巧妙的招式，津津乐道于一击致胜的杀手锏。而专业格斗训练的初期几乎全都聚焦于提升基础体能。尽管书中没有明示，作者的观点似乎已经很明显：在小学数学阶段，先不要追求速算之类的解题技巧，你还不到那个份儿上，老老实实打沙包吧，拳拳到肉。

　　我自己想到一个例子：9+3等于多少？

　　按照这本书的教法，先要定义记数系统的规则，搞明白位权制记数法之后，再在其中十进制的基础上定义出加法是什么，最后才轮到具体的计算。

　　我说得简化通俗一点，就是首先要确保小朋友完全理解了“a+b表示从a开始数b个数后的那个数字”，然后再引导他们9+3=(9+1)+2…

　　我再强行打个比方：前者如同走路，后者好比骑车。“走路”是根本，给刚刚步入数学世界的小朋友提供一种“数学安全感”：不管要去哪儿，反正我可以甩火腿，大不了慢一点。 “骑车”当然更快，但是需要技巧。当小朋友还不能掌握时，摔跤在所难免。这个时候不用强求，毕竟每个人最后都能学会骑车，大不了慢一点。

　　如果家长被“输在起跑线上”的不安全感击败，强行把孩子摁上车。就怕会让他认为出门唯一的方式就是骑车。先不说骑不熟练反而会比走路更慢甚至造成事故，如果哪天车坏了呢，什么人离了车就寸步难行？

　　所以，先学走路，走熟练了，再试试骑车，学不会退下来继续走，不着急，慢慢来。肯定有既能走又会骑的那一天。

　　最后，我作为一个缺乏科班语文教育，语言表达的走路基本功低下，而只能频频骑上打比方这辆单车的自发热野生理工教育爱好者，在学了《数学家讲解小学数学》这本书后，心情比较激动，以至于觉得必须要把其中的内容再编排、加工、分享出来。

　　我先把书中第一部分自然数的内容做成了一个三个半小时的视频，放在了B站上： https://www.bilibili.com/video/av86514975 ，就叫做《学数学家讲解小学数学》吧。 这个视频一共分成13集，每集还有配有简单的文字讲解，在B站上无法做到视频和文稿的对应发布，这部分内容可以搜索我的公众号《周工讲理》获取。

　　《数学家讲解小学数学》读后感(四)：目前看了第一章，理解了自然数，记下一些要点

总结：清楚地定义了自然数，并强调融合坐标，目的是为以后学习实数打好基础。结合交换律、结合律、分配律，通过推导乘法、除法的竖式来强化推理和抽像的重要性。非常棒。

第一章 位值制

1、 记数方法（将数字排列在白板上）阿拉伯计数法（十进制计数法）

0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 一位数

10，11，12，13，14，15，16，17，18，19 两位数

从0到1，数一步；从0到9数9步

加法就是增加步数，比如3+6，意思是3数6步是第一步3到4，第二步4到5，第三步5到6，第四步6到7，第五步7到8，第6步8到9

自然数就是用来记数字的

2、 有2进制来理解10进制

3、 A与b的加法，写做a+b，它表示从a开始数b步所得的数，数字a+b也称a和b的和。a+b+c是由连续记数所得，即从a出发数b步到达a+b，再从a+b出发数c步到达a+b—+c（加法就是连续记数，乘法就是反复做加法）

4、 位值制比如3728的展开式是3000+700+20+8，3000开始数700步，再数20步，再数8步（而罗马数字是把各个符合相加所得）

5、 符号语言的运用，建议小学生必须开始学会使用符号

6、 自然数的概念就是从记数发展而来

7、 画数轴，用几何语言来表示自然数的概念

8、 一旦给定某条直线上的单位线段，这条直线上的所有自然数也都能确定下来，也就是说，单位线段的长不是固定的，就看你怎么定义它的长度

9、 依赖于学生的直觉理解（比如说比较数的大小）不是良好的教育方式，因为更多较难的课程是无法依赖学生直觉的

10、 用几何方法表示加法：把线段拼接起来，然后求长度

11、 比较数的大小，意思按照记数方法，如果a出现在b前面，那么我们称b大于a（或者a小于b），用符号表示a>b，b<a，如果n是个非0自然数，那么n>0；<有传递性，如果a<b且b<c，那么a<c，用数轴表示会很明显。

12、 三分律：给定两个自然数a和b，下面三种情况有且仅有一个成立：a=b,a<b,a>b

13、 乘法就是反复做加法，0乘以任何数仍等于0

14、 10*10可以缩写成102 ，所以10*10*10…….=10n ,n称为10的幂或指数，读作10的n次幂，所以一个大数字可以写成

258，784，254=2*108+5*107 +8*106 +7*105 +8*104 +4*103 +2*102 +5*101 +4*100

这种展开式阐明了一个事实：一个自然数中每一位的位值是它右边一位的位值的10倍。

若中间有0则是0*102 一般情况下，写成一般展开式就可以了，不用写成幂的形式

15、 为什么左边的0可以省略？0001245=0*106 +0*105 +0*145 +1*103 +2*102 +4*101 +5*100 而0*任何数都等于0

11、阿拉伯计数法起源于印度，而印度与中国深有渊源，中国相同时期也有10进制的记录。而10与人的手指数目相同，所以这不是一种偶然。

第二章 基本运算定律

1、等于号：两个自然数之间的等于号并不表示“经过运算得到一个答案”，而是用数数的方法检验等于号的左右两边是否为同一个数，或者把等于号两边的数置于数轴上检验结果是否为同一个点。

2、对于任意一族数，以任何顺序把所有的数相加，所得的和都一样

结合律（l+m）+n=l+（m+n）

交换律 m+n=n+m

3、对于任意一族数，以任何顺序把所有的数相乘，所得的乘积都一样

乘法的结合律：（lm）n=l（mn）

乘法的交换律：mn=nm

4、分配律m（n+l）=mn+ml，可以用面积模型来显示，是把加法与乘法联系起来的纽带

5、比较数的大小：b<c等价于a+b<a+c

如果a>0，那么b<c等价于ab<ac

a<b且c<d蕴含着a+c<b+d

a<b且c<d蕴含着ac<bd

第三章 标准的运算法则

1、运算法则服务于计数

2、学习运算法则背后的推理过程是掌握基本数学技能的绝佳方法，包括

（1）用运算基本定律进行抽象推理

（2）从精确的定义进行推理的能力

（3）学习这些计算法则的本质，是学习数学推理的开始

3、运算法则的核心思想：进行多位数计算时，把计算过程分解成许多步，使得每一步都只涉及一位数的计算，这就是抽象思维

4、运算法则正是因为单调才非常有用，讲授运算法则时不强调这种单调，反倒丢失了本质。讲授运算法则时，必须同时强调它们的单调、不用思考的特点以及它们背后的逻辑推理

第四章 加法的运算法则

1、本质上的个位数加法

2、竖式用展开式来证明

3、竖式要从右往左开始加，从左往右可能导致返工

第五章 减法的运算法则

1、定义：m-n表示满足m=k+n的自然数k

2、减法也适用于分配律

3、把被减数写成一个很小的数与一个有一排9的数的和，可以极大的简化减法

第六章 乘法的运算法则

1、本质上的一位数乘法

2、标准运算法则的另外2种写法p76,p77

3、乘法运算法则最重要的特征可能是竖式中向左移一位的现象，教师必须根据位值制，向学生仔细地解释这种向左移位的现象

第七章 长除法的运算法则

1、区分长除法概念和自然数除法概念，在自然数的前提下，算术运算的结果是一个单独的数，它和带余除法的概念是不同的，只有当预先知道自然数m是n的倍数时，才使用m÷n这个符号，带余除法与除法不同，不是算术运算。比如25÷6=4余1是4组物体每组6个还余1，21÷5=4余1是4组物体，每组5个还余1，是不一样的。因为自然数相等定义为数轴上的对应点重合，所以有余数的等于号只是在拙劣地挪用记号。4余1不代表任何数，不代表分数，也不是小数。正确的表示带余除法的方式是25=（4×6）+1

2、自然数除法概念：设自然数m是另一个非零自然数n的倍数，令m=kn，其中k是某个自然数，于是m除以n，记做m÷n，它是满足式子m=kn的自然数k

3、自然数除法：包含除、平均分

4、用数钱的方法学习长除法，比如说586元里含有多少3元（或者586元分成3叠，每叠有多少钱），区别是长除法中不包括位值制

5、长除法运算法则是一系列带余除法的合成，每一步带余除法的除数都相同

第八章 再谈数轴和四则运算

1、自然数用数轴的定义：一个自然数为直线上0右侧的一个标记点。其中，从第一个数0开始，下一个数（0右边的第一个）是1，接下来是2。标有自然数的这条直线称为数轴。

2、一个实数，定义为数轴上的任意一个点，简单的称为一个数。

3、自然数在数轴上的位置依赖于1的选择，而且每一个自然数都是相对于同一个单位1而言

4、加法用面积表示，就是以1作为单位正方形的面积

5、对乘法的讨论中，数轴都具有两个作用：其单位1既是单位正方形的边长，也是单位正方形的面积，请读者牢记这一点

6、除法是乘法另一种等价的表达方式即a÷d是满足a=qd的自然数q.

7、任何对小数、分数的彻底理解，必须建立在流畅使用数轴的基础上。

8、把自然数放上数轴，是为了更好地理解小数、分数

9、四舍五入：将一个自然数n四舍五入到10位，就是说将N替换为10的所有倍数中离N最近的那个倍数。如果10的离n最近的倍数有两个，我们约定选取其中的10的倍数。

　　《数学家讲解小学数学》读后感(五)：漫谈幼儿数学教育

　　本文的题目来自于我在幼儿园家长日上的一次分享。

　　首先要说明的是，我学的专业和做的工作与数学研究并没有直接关系，我本人在数学教育方面也没有什么成功案例。本文的内容主要源于个人经验以及阅读心得。

　　本文将从以下四方面来讨论“幼小阶段数学教育”这个主题：

　　1、“理想化”的数学教育

　　2、“功利化”的数学教育

　　3、“普通人”的数学教育

　　4、“数学家”的数学教育

一、“理想化”的数学教育

　　探讨数学教育之前，我们先来看看人类普遍的学习模式是怎样的？在《认知天性》这本书里写到：

　　这里面有两个关键词，一个是概念，一个是关联。概念就是我们所说的知识点，而有效的学习需要“布点成网”。知识点不能只是一个个孤岛，我们需要着重向孩子展示知识点之间的关系。学到的概念越多，彼此之间的关联就越多，逐渐编织起一张知识网络。

　　比如，学习“加法”时2+2=4，学习“乘法”时2×2也等于4。加法和乘法是两个知识点，而需要重点强调的是它们之间的联系：乘法表示相同数量的连续相加。2×2表示两个2相加，也就是2+2，这就是它们都等于4的原因。

　　具体到本文的主题“数学学习”，我们需要区分清楚三个层次：思维、技巧和熟练。用一颗树来比喻，思维是树干，技巧是树枝，而熟练是树叶。在幼小阶段，思维训练的重要性大于技巧训练，而这两者又远远比追求“熟练”要重要太多。树叶青葱是枝干强壮的结果，决不能本末倒置。

　　比如，熟练背诵乘法口诀表只是一片树叶。任何人迟早都会，你比别人早背两年没有任何意义。但是要搞懂乘法口诀表是怎么“制定”出来的，就需要明白加法和乘法之间的关系。而“数轴”的技巧是算术中最重要的一根“树枝”。再往“树干”上走，就涉及到“基本运算定律”、“位权制记数法”等更基础的数学知识。

　　我们应该把全部精力都投入到思维和技巧的训练上，“熟练背诵乘法口诀表”之类的抢跑行为得不偿失。

　　还需要多说一句的是，正确的方法有可能在前期反而表现为落后。人家的小孩能够一口报出答案，而自己的崽儿还在掰着指头慢慢数。这个时候家长朋友们要能沉得住气，心中默念：来日方长，厚积薄发，谁笑到最后…

　　对于比较小的孩子（六岁以下），我们进行幼儿数学启蒙的目的，应该是让他们体会数学，而不是学会数学。因为这个年龄段的孩子是很难真正一板一眼地坐下来学习的。我们可以利用一些生活中的场景，引导他们逐渐去接触数学概念。

　　可以和他们比赛举重，搬的东西最多的就是第一名，也可以跟他们比赛跑步，用的时间最少的就是第一名。在玩耍的过程中，家长在一旁“刻意”引导，孩子“自然”就能体会到数字既可以用来表示数量的多少，也可以用来表示顺序的先后，既可以由小到大的排序，也可以由大到小的排序。

　　有的家长会说，我自己都有数学恐惧症，哪来的意识去引导孩子呢？对此，我最直白的安慰是：其实我上面说的这些技巧都只能算是“边角余料”，系统的数学学习只能依靠正规的学校教育。家长的“暗中助力”也许能发挥一成的功力，但是无关大局，剩下的九成你交给学校就行了。家长朋友们不需要给自己太大的压力。

　　这又从另一个角度说明了，“一年级学会二年级的东西，二年级学会三年级的东西”这种抢跑的层次太低。在别人迟早会赶上来的赛道上早跑几步有什么意义呢？真正有效的“抢跑”不该沿着教学大纲的方向，而是要越跑越宽，不经意间就把整个大纲包裹进了自己的跑道。

　　所以说，如果你属于不会辅导数学的家长，你也用不着因为自己无力帮助孩子抢跑而悔恨交加，寝食难安，至少现在还不需要。“功夫在诗外”这句话，在六岁左右这个年龄段还是成交的。

　　《如何唤醒数学脑》里作者写到：“在我的补习班中，能在短期内提高成绩的学生，都有一个共同的特点，就是具备优异的语文能力…尤其是有逻辑条理性，能够把别人的意思用自己的话表达出来。”你多和孩子说说话，也算是在辅导数学了。

二、“功利化”的数学教育

　　上一部分我们讨论了“理想化”的数学教育应该是什么样的。但是，孩子在江湖飘，哪能不…拼升学、不要考试、不看成绩…这一部分我们就来讨论一下这个话题：以升学为目的的“功利化”的数学教育。

　　简单来说，在升学之路上，家长扮演的角色应该是孩子的脚手架。著名教育心理学家高普尼克在《宝宝也是哲学家》一书中写到：

　　也就是说从6岁开始，孩子们逐渐会从玩耍模式进入到课堂模式，我想这也是“幼小衔接”的理论基础。

　　因此6岁是孩子升学之路上的第一个关键节点。《魔鬼数学》里写到：“ 很多孩子会在两个时间点放弃数学：一是学习分数时，二是学习代数时。”分别对应到小学三年级和五年级。再往上的关键节点当然就是小升初考试。

　　我估计以大部分家长的辅导能力，我们这个脚手架大概只能搭到小学三年级左右的高度。那更上面的那些坎又怎么办呢？

　　一个自然而然的想法就是：能不能把脚手架的工作外包出去？——花钱报辅导班。

　　数学辅导班这项业务我还没有亲身体验过，但我还是简单地做了一些调研。辅导班大概分成两类，一种是以“学而思”为代表的“商业”辅导班，另一种是以小升初为目的的“官办”辅导班。学而思的辅导班又分成了：学科数学和小学奥数，而小升初的辅导班也分成了：培训班和针对班。

　　我理解学科数学班和培训班就相当于补课，需不需要补课因人而异。而如果到了小学高年级，你已经确定了小升初的目标学校，那对口的针对班我觉得是必须要上的，正所谓有的放矢。至于奥数班，则没有讨论的必要，正经的奥数竞赛绝对是要靠天赋的。孩子不是那块料，报了也没用。如果真的是金子，肯定会被学校老师一锄头刨出来。

　　其实我想说的重点还不是上面的这些辅导班，而是市面上的另一种培训机构，包括但不限于什么珠心算、速算法、左右脑开发、专注力训练…我倒不是说这些班完全没用，我的意思是如果你给孩子报这些班的话，你必须要清楚，你报的不是数学班而是杂技班，“最强大脑”并不适合搞数学。

三、“普通人”的数学教育

　　前面我们说了，奥数竞赛班不是你想报就能报，不想报就可以不报的。数学能力在人群中的分布是一个橄榄形。顶尖的一小撮，靠的是天赋。末尾的一小撮，实在开不了窍，也没办法强求。但是我相信：对于绝大部分处在中间的普通人，只要方法得当，在学校里取得中等偏上的数学成绩是可以预期的。

　　下面我通过两道例题来解释一下，什么是我认为的得当的“普通人”的数学教育方法。

　　这道题来自我女儿的幼小衔接作业。

　　有的家长可能会这样辅导：贝壳有5个，花有3朵，因为5>3，所以贝壳比花朵多——这种解释是错误的。

　　5和3只是两个符号，也可以写成五和三，或者five和three…这样的解释并没有给孩子讲明白：为什么这个符号就大于那个符号呢？

　　比较数量的本质应该是一一对应，谁剩下谁就多，剩多少就多多少。贝壳和花朵一一对应后，贝壳还剩下两个，所以贝壳比花多。又因为我们把贝壳的数量用5这个符号表示，把花的数量用3这个符号表示，所以5>3。也就是说，是因为贝壳多于花朵，所以5>3。而不是因为5>3，所以贝壳多于花朵。

　　实际上，一一对应是数量比较的唯一方法。等他们在十几年之后面对无穷大数量的比较时（比如全体奇数和全体整数哪个更多），用到的也是这个思想。

　　接下来，我们可以“趁机”引入数轴的概念。把数量按照从小到大，从左到右的顺序排列在一条直线上就形成了数轴。数轴上右边的数比左边的数大，5在3的右边，所以5>3。

　　我们再来看一道“难题”：

　　这道题对大人来说是列一个方程组，但是该如何给比较小的孩子讲解呢？我们还是可以用到数轴的思维模型，通过数轴我们可以向孩子展示加法交换律。接着我们再次运用一一对应做比较的原理引导他们找到答案。

　　我用上面这一易一难两道题，想说明的还是之前的观点：幼儿数学教育，思维>技巧>熟练。比较的本质是一一对应，这是思维层面；数轴的运用是技巧层面；最后的答案，只是附带的结论。

　　在这个部分的最后，我再介绍一个数学小游戏。这个游戏改编自《这才是数学（教师版）》。有一天，女儿说她搞不懂什么是乘法。于是我打了一张格子纸，再拿了两个骰子。游戏的规则是这样的：两个人轮流掷骰子，比如掷出了2点和5点，就用水彩笔涂出2排每排5个格子。然后数一数一共涂了10个格子，于是在纸上计分“2×5=10”。当格子不够时游戏结束，比如下图中如果掷出了两个6。最后加总各自的得分。

　　我们来看看在这个游戏里面包含了哪些知识点。首先是理解乘法的含义，还可以“趁机”体会乘法的交换律，顺带也“训练”了面积的概念。计分的部分则练习了连加法的表达。最后判断输赢时，再次运用一一对应的思维，消去两个式子中相同的项…

　　总之，这是一个让我颇为自得的教学创新。然而……

四、“数学家”的数学教育

　　在上一部分中，我用几个例子展示了我所认为的“得当”的数学教育方法。但是我并没能得意多久，因为我发现在真正的数学家眼里，我这种“普通人”的数学教育方法其实并不合格。那么正宗“数学家”的数学教育应该是怎么样的呢？

　　我们首先思考一下这个问题：人能自己学会说话，人能不能自己学会数学？也就是说小孩子不用刻意学习，就能够掌握语言。那如果不专门教授他们理论知识，小孩子能够自己学会数学吗？

　　答案是否定的。伍鸿熙教授在《数学家讲解小学数学》里曾经批评到：“普通教科书不重视定义，而是通过各种例子来做示范，以为数学也像小孩学说话，不理解每个单词也能学会句子……这种教法是无效的。”

　　可以看到，原汁原味的数学教育强调的是理论定义，而不是具体的应用场景。在《一个数学家的叹息》里也批评到：“数学教学最悲哀的地方，是企图‘让数学变有趣，与生活产生关联’——它本来就远超过你了解的有趣！数学的骄傲就在与我们的生活完全无关。这就是为什么它是如此有趣！”

　　这些批评让我目瞪口呆，深深感受到了专业选手和业余爱好者之间的鸿沟。不过下面这则批评倒颇有些醍醐灌顶的效果：“学生产生数学恐惧症的原因，是在你没有充分理解好数学的情况下，老师就要求你按照规定的步骤做数学题，之后就任由你自生自灭。”

　　那什么才是被数学家认可的数学教育方式呢？——“连贯性是构成数学的一种品质，要想呈现一门连贯的课程，就必须用一种不违背学生学习规律的，符合逻辑的方法来展现中小学数学。”

　　对我这样的普通家长而言，一个自然而然的问题就是：孩子还这么小，能接受得了这种“正经八百”的科班教学吗？——数学家的回答是：“人们常常出于发展适应性的考虑，不给孩子讲解认知上太复杂的知识，但近来认知心理学研究发现：孩子的抽象能力超越了大多数人的想象…这个结论已经在一些发达国家的课堂上得到了验证。”这里的发达国家指的是…前苏联。

　　由于这部分的内容已经超出了我的能力范围，所以我也没法进行更深入的讨论。但是，就像业余球员也渴望能有机会和职业球员交手，作为一个数学以及数学教育的爱好者，我决心要向专业人士看齐。等我学习完这本《数学家讲解小学数学》，我准备整理出一门课程，就叫做《学数学家讲解小学数学》。届时也会分享到我的公众号上。

五、总结

　　最后总结一下本文的主要观点：

　　1、学习要重点理解各个概念之间的关联。

　　2、对于幼儿数学教育，思维训练比技巧训练重要，而追求熟练最不重要。

　　3、低层次的提前抢跑毫无意义。

　　4、孩子的学习主要依靠正规的学校教育，家长不用太焦虑。

　　5、数学是数学，杂技是杂技，报辅导班之前要搞清楚。

　　6、顶尖靠天赋；末尾不强求；方法得当，中等偏上。

　　7、资深玩家可以尝试数学家的教学法。

　　最最后，如果只剩一句话，我想对家长朋友们说：数学教育有它自己的规律，不着急，慢慢来。

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