高等近世代数读后感摘抄

　　《高等近世代数》是一本由[美]Joseph J.Rotman著作，机械工业出版社出版的简裝本图书，本书定价：89.00元，页数：754，特精心从网络上整理的一些读者的读后感，希望对大家能有帮助。

　　《高等近世代数》精选点评：

　　●听数学系的银说很难……

　　●咸鱼之友

　　●其实我只读了前四章节，感觉有点类似于serge lang的gtm 211，整本书呢，无疑问是写得很棒的，事无巨细一一道来，但是这也正是缺点所在，正因为涉及的东西太多了，所以会显得有点主次不明，不太能让新手理解到抽象代数的脉络，我想，等到以后对代数的各个学科有更深刻的洞见之后再来读这本乎一定会更有收获。

　　●很好的字典

　　●讨厌Galois

　　●很好

　　●读了近两年，读完4/3，做了所有题

　　●可以。

　　●翻译一般，字典似的作品，重点并不突出，很难在书中感受到现代抽象代数的思想脉络，写的好的地方却不是数学，而是里面的词源考证，令人无奈的作品，评价应为3.5分

　　●内容全面 联系深入

　　《高等近世代数》读后感(一)：书是好书，翻译马马虎虎

　　够厚的代数书，可以当做研究生一年级代数书。就是翻译得太别扭了。有些明显是一句半句的翻译的。翻译的人自己都没搞清楚。英文原版是高等教育出版社引进的，但它的勘误表很长，有好几十上百页。第二版错误较少，但没引进，很贵。

　　《高等近世代数》读后感(二)：总结

　　伽罗瓦理论是抽象代数的精髓，理解了它就可以出山了。

　　一切的开始源于方程的求解公式。

　　用抽象代数的语言描述方程有求解公式就是：

　　多项式的分裂域是系数域的系列根式扩域，表示为

　　E > fn > fn-1 > ..........> f1 > F

　　也就是说多项式的分裂域的特征反映了方程是否有求解公式。

　　然而域是一种比较复杂的代数结构，人们只知道分裂域存在，却无法直接分析它的性质。

　　伽罗瓦天才的地方就是将域转化为群来研究。因为对群的性质比较容易分析。

　　对于每对扩域E/F, 保持F不变的E的自同构组成了伽罗瓦群，记为G(E/F)。多项式f的伽罗瓦群是分裂域在系数域上的伽罗瓦群，记为G(f)。

　　可以证明，如果f有求解公式，则G(f)是可解群。因此，问题就转化为对G(f)的研究。奇妙的是，n次一般多项式的伽罗瓦群同构于n次对称群Sn。当n>= 5 时，Sn是不可解群。因此五次及以上方程没有一般求解公式。

　　：尺规作图能画出始于有理数域次数为2的扩域链。

　　《高等近世代数》读后感(三)：同态即比喻

　　关于5次方程不可解的证明。

　　每个根能够被系数用+-*根式表示，n个根就有n个表示

　　反过来，每个系数也可以由n个根用+-*根式表示

　　系数域不断地纯扩张（也就是某个元素的m次方落到要扩张的域，把这个元素加入进行扩张），如果某f(x)的分裂域被上述的某个扩张覆盖，就说明f(x)的分裂域不断地纯缩减，最后来到系数域上。也就是说系数域上的数通过+-* 成了f(x)的根。

　　上述的证明却是困难的，因为域太麻烦，转而研究与域紧密相联的群。纯扩张的域塔对应着可解群，而证明5阶或以上的群一定不可解时，就证明了不可能有相应的纯扩张，也就是说没有求根公式。

　　1.治国如烹小鲜

　　所有的比喻都是同态，上述比喻的含义是治国的每一操作都找得到烹饪的一个操作与之对应（加息对应加油，汇率提高对应加火），并且连治国的每两个操作的合成（加息且升高汇率），也对应烹饪原来两个操作的合成（加油也加火），当然，从比喻来说，这两点都是自然而然的，没有什么难度，但是没有看透这一点的，对于同态概念就很难理解。所谓的比喻就是，忽略两系统的个体的差别，其中一个系统的群作用，在另一个系统中可以找到一个子系统与之一一对应，此时就说第一个系统像第二个系统。如果第二个系统也像第一个系统，那么两者就是同构。

　　2.良好的操作子集

　　ap-1 就是一个相似操作，我把一个闹钟拆了（p-1)然后上油（a)然后再装上（p)跟我直接上油是相似的。如果有一个操作子集，他的任意相似操作都落入原来的子集中，也就是说我进行修理（对应一修理子集），任意相似操作都是修理（都落入修理子集）那么这样的子集是很好的，我绝对都是在干修理活。这种子集叫正规子集。

　　3.烹饪的1操作，与治国的1操作显然在数量上应该有差别，毕竟治国涉及更多人与事。治国的1操作必定是正规子集，我们将治国按正规子集分类，得到一个新的类集，称新的操作集为治国2.0.那么可以知道治国2.0，我们可以想象，治国2.0一定与烹饪同构，也就是本质上无有差别。

　　这就是同构第一定理：治国2.0=治国/1操作=烹饪

　　4.如果治国按照治省来分类成为治国3.0=治国/治省

　　治国2.0=治国/1操作，治国的步骤按1操作来分类

　　治省2.0=治省/1操作，治省的步骤按1操作来分类

　　治国3.0=治国2.0/治省2.0

　　这就是同构第三定理

　　《高等近世代数》读后感(四)：天才如何思考

　　在我还是个孩子的时候，科学对我的魅力就在于它继承了基于常识的逻辑，却通过逻辑得出了有悖常识，却无可辩驳的结论。在过去的几年中，这种魅力逐渐变成了对抽象思维的热爱。在数学家手里，逻辑变成了积木一样的玩具，它通过各种不可思议的组合，构筑起宏伟的结构。

　　一元方程何时有求根公式？从这个问题出发，直到推导出可解群的概念，中间有一条长长的逻辑链。首先是对“可解”的界定。它是指经过有限次加、减、乘、除、乘方和开方运算可以表示出方程的根（1）。线性代数中已经有集合对运算封闭的概念，套用这个概念，（1）可以表达为：如果一个集合包含方程的系数，且对加、减、乘、除、乘方和开方封闭，那么求根公式的存在性等价于根在这个集合中的存在性。让人疑惑的是乘方和开方两种运算明显不同于加减乘除。乘方可以看作是乘法的特例，而开方则不同于已知的任何一种运算（这让我产生这么一种设想：如果允许2.3^3.6这样的运算，也就是说把乘方看作一种独立的运算，数学家能不能构造出一种比域更复杂的集合，从而产生全新的抽象代数？），所以在域中被定义的运算只有加减乘除四种，开方通过扩域的方式被加入到求根公式允许的运算方式中。

　　现在得出了第一个重要的概念：扩域。从包含方程系数的最小的域出发，通过域的扩张逐渐添加元素（2），直到把方程的所有解包含在某个扩域中为止：如果我们能这样做到，方程就是有解的，否则，方程就没有一般的求根公式。

　　那么什么叫“把方程的解包含在某个扩域中”呢？如果n次方程f(x)=0的n个根是x(1), x(2), ..., x(n)，那么f(x)一定可以分解因式为：

　　f(x)=[x-x(1)][x-x(2)]...[x-x(n)]

　　如果我们能够这样彻底地分解因式，那么方程的解就唾手可得了。但往往我们不能，比如

　　f(x)=x^2+1

　　初中数学老师告诉我们：这个多项式是不能分解因式的。现在我们要加一句：在实数范围内，它是不能分解的。因为如果允许把虚数单位i作为系数的话，这个式子可以分解成：

　　f(x)=(x+i)(x-i)

　　它给了我们这样一种启迪：当域的范围越大，在这个域中进行的因式分解就越彻底，当一个n次多项式可以被分解为n个一次多项式的乘积时，方程的n个解就找出来了。这个域叫做f(x)的分裂域（很形象的名字，哈哈）。

　　从多项式的系数域到多项式的分裂域——如果能以（2）的方式，通过一系列的扩域把二者连起来，方程就是有解的。但困难在于，域是一种非常难以把握的集合。域定义了四种运算，而且我们研究的大部分域都是无限域（有无限多的元素，比如实数域），要准确地给出系数域可以扩张为分裂域的充分必要条件是非常困难的。有没有一种更简单的集合，它具有更容易研究的结构，可以替代复杂的域呢？

　　这就是群——这是整个伽罗瓦理论中最天才的闪光。群只定义了一种运算——乘法，这使得数学家能够闭着眼睛说出来，群的每一个阶对应了多少种什么样的结构。在伽罗瓦的原始定义中，群中的元素是根集合的置换。在后来的数学家那里，似乎是为了体现“抽象代数”的名副其实，定义被改成了更晦涩的保持原始域不变的扩张域的自同构。从域到群是一个惊人的飞跃——域的无数种扩张方式顷刻间被归纳为有限阶的群。n阶对称群对应着n次一元方程，当数学家证明了5阶和5阶以上的对称群不是可解群时，他们就等价地证明了五次和五次以上的代数方程没有求根公式——五次方程的求根公式曾是欧拉孜孜以求的目标，然而半个世纪之后，一个 19岁的孩子证明了这种努力是完全徒劳的。如果他能活到欧拉的年龄，不知道代数学里还有多少用他的名字命名的定理，然而他只给我们留下了一个伽罗瓦对应，在他身后的一百七十年中，在少数人心里激起共鸣。

　　.s.我以前一直看复旦出版的姚慕生著《抽象代数学》，后来在图书馆偶然找到一本Joseph J. Rotman的《高等近世代数》，看了一个晚上就理解了以前好几个月都无法理解的东西。这里不得不强调一下教材的重要性，还有——我国的基础理论研究和美国比实在差太远了。