数学读后感10篇
《数学》是一本由[英] 蒂莫西•高尔斯著作，译林出版社出版的平装图书，本书定价：25.00，页数：300，特精心从网络上整理的一些读者的读后感，希望对大家能有帮助。
最喜欢和认同书中的一句话：我们应当学习抽象地思考，因为通过抽象地思考，许多哲学上的困难就能轻易地消除。事实上，作者在书中介绍的现代数学诸多概念与逻辑，都无一例外的向我们展示数学是认知世界的抽象思维方法，而不是简单的一种学术，更不是解题。
长时间以来，我都对自己没有去数学系或物理系耿耿于怀，巧合的是我弟弟上的却是数学系，然而他却不喜欢。虽然也是一个典型的理科，我却似乎从没有那么真正爱上我曾经的专业，因为在我看来，聪明或智慧分为两种类型：第一个类型是创造能力或者创新能力，第二个类型是逻辑能力或认知能力。这完全是两个方面，并且对于绝大多数常人来说，很难同时两者兼备。不仅如此，两者还往往是矛盾的，具备其一的，往往另一点比较弱势。两者同时具备的，最典型的就是那些在历史上闪耀着光芒的大师们、天才们，譬如：牛顿、爱因斯坦、莫扎特等等。
需要创造能力或创新能力的，往往集中于化学、生命科学等领域，而需要逻辑能力或认知能力的，则往往集中于数学、物理等领域。我在离开学术职业之后，曾经认真反思过自己的过往和资质，很明确的觉得自己在后一种特质上略微有那么一点点天资，而在创造能力和创新能力方面则完全属于level很低的那种了。事实上，这么多年以来就从来没中断过对数学的热爱（当然了，早已不具备真正学术的条件啦）。在对更多的认知过程中，其实归根到底都可以收敛到数学的思维，作者在这本书中繁举了现代数学的诸多分支，其核心精神也是为了说明抽象认知的精髓性，同时抽象认知也是数学思维的最根本所在。
值得一提的是，让我特别感到惊奇（以前没有从这个角度思考过）的是：作者提到数学的本质思维其实全部源自于我们平常生活认知中最基础的逻辑，并没有什么神秘之处，这最基础的逻辑很难表达，但总之就是譬如“班上50个人全部都是两只眼睛的，所以其中一位同学也是两只眼睛的”这种。作者在书中用了略微专业（确实需要一定的理科基础）的语言向我们展现了多么复杂的无理数、无穷数的推导过程，但是他用的数学逻辑，恰恰就是刚才提到的最最基本的逻辑。所以，这给了我一个特别奇妙的体验，那就是：在被作者带着一步一步思考与推导的时候，从开始到进程中，都觉得特别的轻松自然，但结束之后回头一看，原来是如此神奇！
《数学》读后感(二)：数学对象是其所做——摘录
作者通篇在传达一个观点：要抽象地思考。
数学用在模型上而不是现实世界中，需要抽象思考出模型，即数学对象是其所做。数系扩充中，复数i并没有比无理数根号2更特殊的地方，因为它们作为抽象的数学构造，如果充分自然，则必能作为模型找到它们的用途。实际上正是如此。
数学中有个根本性的重要事实：数学论证中的每一步都可以不断地分解成更小更清晰有据的子步骤，但是这样的过程最终会终止。原则上，最终会得到一条非常长的论证，它以普遍接受的公理开始，仅通过最基本的逻辑原则一步步推进，最终得到想要求证的结论。所以，任何关于数学证明有效性的争论总是能够解决的。争论在原则上必然能够解决这一事实使数学作为一个学科是独一无二的。在这里，公理系统的主要问题不是真实性，而是自洽性和有用性，即数学证明就是由特定前提能够得出特定结论，而不考虑该前提是否正确。数学归纳法原理正是使用了这一“根本性的重要事实”：假设关于任意正整数n有一陈述s(n)，如果s(1)为真，且s(n)为真总蕴含s(n+1)为真，那么s(n)对任意n都为真。
我不清楚这一“根本性的重要事实”在现实中的使用范围有多大，但由此可以聊一点别的问题。现实中，如果甲对事情有A观点（或说价值观），乙有B观点，并为此争执。有下面几种情况：1，在上述的范围之外，即没有定论。2，有定论，但是双方都没有给出足够的证据证明和反驳。3，有定论，一方给出了足够的证据（或者反驳理由），因为表达能力导致表述不清晰而没有说服对方。4，有定论，一方给出了足够的证据（或者反驳理由），因为对方理解不够或理解偏差导致没有被说服。第234条与这几项有关：知识量，表达能力，理解能力，对外界的认知和自我认知。其中语言本身的局限性会一定程度上影响表达和理解，认知能力是一项综合的要求很高的能力。“评论”这件事就是个很合适的例子。如果说创造更需要的是才气，那么评论更需要的就是能力。但是，无论双方是否知道有无定论，很多情况下需要陈述不少或很多证据或反驳理由，由第234条可知人与人交流的效率很低，并且可能伴随一些冲突。若考虑到一些人的利益因素等，交流会更复杂。
缺角正方形网格的铺地砖问题，这个例子给我印象最深，答案只需用四个字提示：国际象棋。
三条看似显然实则需要证明的陈述，是说要严格对待“从特殊推广到一般”，否则容易推理错误。1）n（任意正整数）个确定的特殊情况在没有严格逻辑推理的情况下不能得到一般性结论，因为无法推广到所有情况。2）三叶结的例子，片面的情况在没有严格逻辑推理的情况下不能得到一般性结论，因为无法推广到所有情况（复杂的情况）。
极限与无穷
根号2的含义：x是平方等于2的无穷的小数。另一种说法：有这样一种规则，对任意n，它能够给出x的前n位数字。使我们能够算出任意长的有限小数，它们的平方接近于2，只要算得足够长，想要有多接近就能有多接近。圆的面积的含义：在特定的容许误差范围内，无论多小，总可以找出充分密集的小方格，由位于图形内的小方格来近似计算，得到的计算结果与一平方米之差少于给定的误差。
四维空间中的点被限制在某个特定的三维曲面上。要将一个概念一般化，应先找出与其相联系的一些性质，再将这些性质进行一般化。同时，有时不同的性质组合会导致不同的一般化，多种一般化方法会硕果累累。
直接去证明平行公设，论证中会包含前提假设，这些并不是欧几里德前四条公理的明显推论，且这些前提假设和论证并不比平行公设本身更有道理。
将隐含假设明确表达出来的一个好办法，是在不同的情形下检查同样的论证。一个公理或者定理会包含基本的逻辑推理和必要的要素即前提、条件和结论，如果对这些要素赋予新的解释，该公理或定理仍然会保持有效。重新解释这些要素，如果前4条都成立，但是平行公设不成立，则说明平行公设不能从前4条中推到出来。此处用了双曲几何的例子。
弯曲空间，找到弯曲表面易于扩展的性质，且该性质在空间之内能觉察到。三角形内角和不等于180度可以用来证明空间弯曲。现在人们已经接受空间是弯曲的，那么严格来说，三角形内角和还是不是180度，“度”的定义是不是要改变。我把常规尺度下的正三角形拿到大尺度（即弯曲空间）里，硬让该三角形保持不变，那么如何定义这个三角形？
估计与近似
相差常数以内的相等，相差常数倍以内的相等，上下界。n是大整数，t是任一正数，n的t次方的位数大约是n的位数乘以t。一个数的对数 ，基本上是他所包含的位数，如果是自然对数，则再乘以2.3。素数定理：在数n附近的素数密度约为1/log.e.n。首先对素数设计一种概率模型，假设他们都是以某种随机过程挑选出来的，求证哪些论断是正确的。
排序算法
一个比较好的方法是快速排序。
用抽象思考的方法去探索数学可以做什么，既会有收获，也可能会发现数学是什么。
《数学》读后感(三)：抽象化的数学
书名说，这是一本数学的通识。
但是读起来还是比较吃力。比如，维度这一章。按以前的数学基础，一二三维接触的最多。高维基本没接触过，所以理解比较吃力。看起来是把几何问题转化成代数问题，可就是云里雾里。书中提到的高维空间图像化，说四维立方体就是两个三维的立方体对应顶点相连。但又说它的形状是不能想象出来的。
不过不能因为看的吃力就否定这本书。如果过于简单的一本书，就不存在什么价值了。在本书中，你看不到过多的术语、公式。作者尽量在把内容简单化、通俗化。很多证明的例子，没有公式，只要是有一定的理解能力，都能看明白。
这本书到底称不称得上数学的通识？
对我来说算。因为它打破了我对数学的一些偏见，让我重新认识数学。比如，我们觉得数学是一门精确的学科。因为里面有很多公式，很多的数字。我们学生时代解题，错一个数字或写错个公式要扣分的。正是这些造成了我们的偏见。作者却说说，对于很多问题来说，能找到精确的公式简直出人意料，如同奇迹一般。多数情况下，我们不得不满足于大致的估计。而正是这些大致的估计，解决了很多的数学问题，比如素数定理、排序算法等等都是通过近似得来的。就连数学模型也是，它并不代表真正的现实世界，只是一个近似的代表和反映。我不经觉得数学原来也可以这样玩。
书中常提的一个观点是：对于数学，不要问它是什么，而只要问它能做什么。也就是作者要传达的信息：学习抽象思考。维基百科上抽象化的定义是缩减一个概念或者资讯含量来将其一般化，主要是为了只保存和一定目的有关的资讯。比如，为了研究球的自由落体运动，把球抽象化成一个点。保留这个点有速度，有重量的特性。而把它的形状模糊了。抽象化思考就是为了降低复杂性，回归本质。
《数学》读后感(四)：kindle笔记
牛津通识读本：数学（中文版） (蒂莫西·高尔斯)
- 您在位置 #151-155的标注 | 添加于 2015年4月30日星期四 上午7:53:03
选择模型时，有一个需要优先考虑的因素，即模型的行为应当与实际中观察到的行为密切对应。 图1 飞行中的球甲 图2 飞行中的球乙 但是，诸如简洁、数学表达上的优雅等其他因素可能反而时常会更重要一些。
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牛津通识读本：数学（中文版） (蒂莫西·高尔斯)
- 您在位置 #314-315的标注 | 添加于 2015年5月1日星期五 下午12:15:02
数学对象是其所做。
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牛津通识读本：数学（中文版） (蒂莫西·高尔斯)
- 您在位置 #310-313的标注 | 添加于 2015年5月1日星期五 下午12:17:55
在象棋中，黑色国王是什么呢？这是个奇怪的问题。最令人满意的处理方式似乎是，回避这个问题。除了指着棋盘，说明游戏的规则，我们还能做些什么呢？也许在这么做的同时会对黑色国王给予特别的关注？真正重要的问题并不是黑色国王的存在性或者它的本质属性，而是它在游戏中所发挥的作用。
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牛津通识读本：数学（中文版） (蒂莫西·高尔斯)
- 您在位置 #500-501的标注 | 添加于 2015年5月3日星期日 上午2:09:20
无穷大的自然概念与算术定律是不相容的。
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牛津通识读本：数学（中文版） (蒂莫西·高尔斯)
- 您在位置 #1087-1089的标注 | 添加于 2015年5月5日星期二 下午4:55:26
投身于数学研究所能得到的乐趣之一就是，随着专业领域的经验越来越丰富，你能够发现自己“仅仅观察”就能得到越来越多问题的答案，不一定非得是几何问题，而这些问题你以前可能要艰难思考上一两个小时。
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牛津通识读本：数学（中文版） (蒂莫西·高尔斯)
- 您在位置 #1102 的笔记 | 添加于 2015年5月5日星期二 下午5:00:45
用高维空间来描述多变量函数是个好办法
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牛津通识读本：数学（中文版） (蒂莫西·高尔斯)
- 您在位置 #1100-1102的标注 | 添加于 2015年5月5日星期二 下午5:00:45
为什么二维几何适用于这个运动过程的模型化呢？因为在这里有两个我们关心的数——流逝的时间和走过的距离——如我所说过的，我们可以将二维空间看作所有成对的数的集合。这就提示了我们，为什么高维几何会有用处。宇宙中可能并没有潜藏着高维空间，但需要同时考虑好几个数的情形却有不少。
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- 您在位置 #1110-1113的标注 | 添加于 2015年5月5日星期二 下午5:02:26
高维几何在经济学中也很重要。例如，你如果正在犹豫买某个公司的股票是否明智，那么能帮助你进行决策的大多数信息都是以数字的形式出现的——劳动力规模、各种资产的价值、原材料的成本、利率，等等。作为一个序列，这些数可被看作某种高维空间中的一个点。通过分析许多类似的公司，你可能会确定出空间中的某个区域，认为购买此区域中的股票是不错的主意。
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牛津通识读本：数学（中文版） (蒂莫西·高尔斯)
- 您在位置 #1111 的书签 | 添加于 2015年5月5日星期二 下午5:05:15
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- 您在位置 #1153-1154的标注 | 添加于 2015年5月6日星期三 上午9:40:47
要将一个概念一般化，我们应当先找出与其相联系的一些性质，再将这些性质进行一般化。这样做通常只有一种自然的方式，但有时，不同的性质组合会导致不同的一般化，而多种一般化方法有时会硕果累累。
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- 您在位置 #1317-1318的标注 | 添加于 2015年5月6日星期三 上午10:49:30
的，数学概念的实在性更多地与它做什么而不是与它是什么相关。
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- 您在位置 #1422-1427的标注 | 添加于 2015年5月6日星期三 下午2:47:39
大多数人认为数学是一门纯净、精确的学科。我们经过在中小学的学习，料想数学问题如果可以被简洁地陈述，大概就能得到简练地回答，通常是一个简单的公式。而继续学习大学阶段数学的人，尤其是那些专门研究数学的人，很快就发现这样的想法实在是大错特错。对于很多问题来说，如果有人能够找到解答的精确公式，那简直完全出人意料，如同奇迹一般。多数情况下，我们不得不满足于大致的估计。在你对此感到习以为常之前，这些估计总是看似很丑陋，难以令人满意。然而，品尝一下其中的滋味也是值得的，否则你就会错过数学中很多最伟大的定理以及最有趣的未解决问题。
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牛津通识读本：数学（中文版） (蒂莫西·高尔斯)
- 您在位置 #1639-1641的标注 | 添加于 2015年5月10日星期日 下午9:37:22
我并不了解究竟是什么因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇气、坚定和耐心，对他人完成的艰难工作的广泛了解，在正确时间专攻正确领域的运气，以及杰出的战略性眼光。
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- 您在位置 #1642-1647的标注 | 添加于 2015年5月10日星期日 下午9:39:30
数学中绝大多数影响深远的贡献是由“乌龟”们而不是“兔子”们做出的。随着数学家的成长，他们都会逐渐学会这个行当里的各种把戏，部分来自于其他数学家的工作，部分来自于自己对这个问题长时间的思考。是否能将他们的专长用于解决极其困难的问题，则在很大程度上决定于细致的规划：选取一些可能会结出丰硕成果的问题，知道什么时候应该放弃一条思路（相当困难的判断），能够先勾勒出论证问题的大框架继而再时不时地向里面填充细节。这就需要对数学有相当成熟的把握，这绝不与天赋相矛盾，但也并不总是会伴随着天赋。
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牛津通识读本：数学（中文版） (蒂莫西·高尔斯)
- 您在位置 #1660-1661的标注 | 添加于 2015年5月10日星期日 下午10:12:11
但如果你几年没有做数学，你就失去了数学的习惯，很难再重拾了。
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牛津通识读本：数学（中文版） (蒂莫西·高尔斯)
- 您在位置 #1693-1696的标注 | 添加于 2015年5月10日星期日 下午10:21:30
没有作好准备来进行必要的概念飞跃的人，一旦遇到这些新思想时，就会对其后建立在新思想基础上的一切数学感到并不牢靠。久而久之，他们就会习惯于对数学老师所说的东西仅仅一知半解，日后再错过几次飞跃，恐怕连一知半解也做不到了。同时他们又看到班上其他同学能够轻而易举地跟上课程。因此就不难理解，为什么对许多人来讲数学课成为了一种煎熬。
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牛津通识读本：数学（中文版） (蒂莫西·高尔斯)
- 您在位置 #1698-1700的标注 | 添加于 2015年5月10日星期日 下午10:22:10
我相信，小孩子如果在早期接受到热情的好老师一对一教学，长大之后就会喜欢上数学。当然，这并不能直接成为一种可行的教育政策，不过至少告诉我们，数学的教育方法可能有改进空间。
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《数学》读后感(五)：摘要
第一章 模型
多个不同领域的数学模型.
数学模型是对"现实"进行的"合适"的近似, 有抽象性; 表面上大不相同的现实问题抽象后可能变为同样的模型(可以用同样的数学手段解决).
第二章 数与抽象
数系的扩展.
当抽象出数学模型后, 应关注的就是对象在模型体系中的"作用"(性质, 与其他对象的关系等), 而非对象的"现实"含义.
例如, 如果从"现实"含义---乘法的合写考虑幂, 则很难理解a^{3/2}这样的任意有理数次幂; 这里应当将(有理数次)幂理解为三条规则:
1. a^1=a;
2. a^{m+n}=a^m×a^n;
3. a>0时, a^b>0.
第三章 证明
如果一个数学证明有不清晰之处(步骤), 那么可以将其分解为小步骤; 这一过程是可以终止的; 因此任何关于数学证明有效性的争论总是能够解决的.
("any dispute about the validity of a mathematical proof can always be resolved.")
一些不同形式的数学证明.
(很精彩的黄金分割数是无理数的证明: 根据黄金分割的定义, 可以从黄金分割矩形中割出正方形而重新获得黄金分割矩形, 因此分割过程可以无限持续下去; 但假设黄金分割数是有理数, 则其两边之比为整数比, 分割的过程相当于辗转相除, 是有限的, 矛盾)
三个看上去理所当然但需要(较为复杂)证明的数学结论:
1. 算术基本定理;
2. 三叶结不能"解开"(->trefoil knot, unknot);
3. Jordan曲线定理.
第四章 无穷
quot;任何关于数学证明有效性的争论总是能够解决的"在历史上遇到问题: 无穷.
数学对无穷的处理方法(根据前言, 实际上是(ε, δ)数学描述): 三个例子, 平方根(无限不循环小数), 瞬时速度, 圆面积.
第五章 维度
第二章说到数学关注"作用"(性质)而非"现实"意义(是否存在), 因此可以推广得到高维.
甚至可以将已获得的性质应用于Kohler曲线这样的特殊图形, 从而用新的(旧的!)方式描述它---分数维.
第六章 几何
同样的, 不关注存在而关注自洽性, 得到了非欧几何.
但这种"不实在"的推广最终却可能比欧几里得几何更"实在"---实际的宇宙空间是弯曲的.
流形的介绍.
第七章 估计与近似
数学对近似问题的处理; 应用: 素数定理, 计算机科学.
第八章 常见问题
回答"外行"关于数学外围的一些问题.
(例如"Why are there so few women mathematicians？")
《数学》读后感(六)：扩展阅读部分的译文
长度所限，关于数学，我在此没有讨论到许多其他重要方面。对于未涉及到的这些内容，我可以向读者推荐一些书目。如果你想学习数学史，那么Morris Kline的三卷权威著作《古今数学思想》（上海科学技术出版社）会是一部较有难度的参考作品。作者预期读者具备比阅读我这本小书更加深入细致的数学知识背景。在数学知识如何影响日常生活判断这一课题上，John Allen Paulos的《数盲》（上海教育出版社）这本书迅速成为了经典作品。Tom Korner的《The Pleasures of Counting》（未引进）一书比本书讨论了更多的数学应用的内容，方式也更加巧妙。Courant和Robbins的《什么是数学》（复旦大学出版社）也是一部经典。它的主旨与本书类似，但篇幅更长，风格更加郑重。Davis与Hersch合作的《数学经验》（大连理工大学出版社 ）是一部轻松易读的文集，以哲学脉络叙述数学。我本来还想讨论更多概率论方面的内容，不过Ivar Ekeland的《计算出人意料》（上海教育出版社）一书已经对随机性及其哲学内涵进行了优雅的探讨。
第二章的引语来自于索绪尔的《普通语言学教程》（国内有多家出版社出版过不同译本及影印本）以及维特根斯坦的《哲学研究》（国内也出版过若干译本，以商务印书馆李步楼译本和上海人民出版社陈嘉映译本较有代表性）。哪位读者若同时读过《哲学研究》和我这本小书，则会发现维特根斯坦后期思想对我的哲学观点有着巨大的影响，尤其是对我有关抽象方法的观点。罗素和怀特海的名著《数学原理》并不适合轻松的阅读，但是如果你觉得我就某些基本事实所作的证明冗长啰嗦，那作为比较，你不妨去查查他们是怎样证明1+1=2的。关于第八章中所讨论到的数学中的女性，近年来有两本不错的作品是关于这个题目的：（略）。
最后，如果你喜欢这本小书，你可能愿意了解到，为了使这本书保持尽可能短，我不得不从初稿中忍痛删去了一些章节。这一部分材料可以在我的个人主页上找到：
http://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10
《数学》读后感(七)：数学其实很有趣
数学，很多人会天生排斥，别说数学，看到数字头大的人也大有人在。所以看书名，赤裸裸的两个字在封面上，很多人会以为这是本教材或者高深的数学理论文献而望而却步。
但毕竟这是牛津通识系列，通识的目的就是把复杂高深的学问科普到所有人都能理解。这本书就是针对初中数学基础的人去设计的，虽然不能看懂所有公式理论，但都能知道个大概。书里设计的理论也回避了微积分等高等数学的概念，更多的是与数论有关。而精彩的是整个编排就像搭一个金字塔，一层层的堆起来，地基扎实了对后面的理论理解也有帮助。当然，这本书也只能是展现数学的冰山一角，更多的宝藏要自己去挖掘。但最重要的是书里的一个观点，数学研究再抽象都会有实际意义或者是证实一个看上去很美但不切实际的猜想。书中也向我们展示了诸多非常有意思的数学现象。
其实很多事情也并不需要很专业，看下这种书，消遣消遣，也会觉得数学很美。我们不一定要去运用那么多高深的理论，只是当一个事物去欣赏就可以了，如此美丽的数学。
2016-6-15
《数学》读后感(八)：数学不是真实、确定的，也不是天才们单枪匹马开辟的抽象王国
高尔斯《数学》这个小册子，翻译得很流畅，内容也十分可读。像是来自数学界内部的答记者问，多少揭开了数学的神秘感。如果我们相信**数学是真实、确定的，是天才们单枪匹马开辟的抽象王国**，我们就错得太离谱啦。
一、数学是真实的
我们通常认为，数学是真实不虚的。比如，“两点之间直线最短”就是板上钉钉的真理。高尔斯告诉我们：
gt;一部分读者可能会萌生这样的问题，我还未触及：为什么我们应该接受数学家提出的公理呢？比方说，如果有人反对数学归纳法原理，我们应当怎样回应呢？大多数数学家会给出如下的答复。首先，所有理解了归纳法的人应该都认为它是显然合理的。其次，公理系统的主要问题并不是公理的真实性，而是公理的自洽性和有用性。
基于这样的自洽性和有用性，数学家们往数系里面加入了0这个数字：
gt;从抽象的观点来看，0其实很明确：它只不过是引入到我们数系中的一个新记号而已，并且满足下面这条特殊的性质：对任意数a，有0 + a = a。这就是关于0你所需要知道的一切了。无关它意味着什么，只是一条小规则告诉你它做什么。
因为0不会招致任何不兼容的问题，我们可以放心使用。但是无穷大（∞）这样的“数”，就没有那么走运：
gt;这个式子表明，方程0 * x = 1的解若存在将会导致不相容性。这是否意味着无穷大不存在呢？并不是。这只说明，无穷大的自然概念与算术定律是不相容的。
0 * x = 1的解如果存在，那么x必然等于无穷大（∞）。可惜，假设这个方程有解，会带来整个算术规则的崩塌（我们无需了解细节）。所以，把∞作为一个数的想法，只能放弃。我当时学微积分的时候，就特别困惑为什么∞不是一个数。现在算是得到了一个答案。
所以，更多时候，“数学对象是其所做”。我们似乎不必过于担心数学概念的本质，只去关心它的性质就好。比如，对于二十六维空间这样的东西，我们就暂时不去忧虑它的可能性，只是把它当成一个由很多点（这些点由二十六个数确定）构成的空间就好。
gt;这些隐含意义中最主要的一个就是，即使并不能确切地了解数学概念的含义，我们也很有可能学会正确地使用它们。这听起来似乎是个坏主意，但是用法总是容易教，而对意义的深层理解——倘若在用途之上的确有某种意义的话——常常会自然而然地随之而来。
所以，数学理论跟真实无关，只是自洽、有用（或无用）的由概念和定理构成的逻辑体系。
另外，在应用时，“数学家并不是将科学理论直接应用于现实世界中，而是应用于模型上”。
最后，模型是简化的现实，这是我们必须记着的常识。
二、数学是确定的
在某种意义上，数学确实呈现出让人赞叹的确定性。高尔斯也说：
gt;争论在原则上必然能够解决这一事实的确使数学独一无二。
但是，一旦进入高深的领域，很多确定的解其实是找不出来。稍微学过微积分的人都能深刻体会到这点。
gt;对于很多问题来说，如果有人能够找到解答的精确公式，那简直完全出人意料，如同奇迹一般。多数情况下，我们不得不满足于大致的估计。在你对此感到习以为常之前，这些估计总是看似丑陋，难以令人满意。
三、数学天才们单枪匹马开辟的抽象王国
这一点，高尔斯同样给我们意外的回答：
gt;这些超乎寻常的人并不总是最成功的数学研究者。如果你想要解决某个问题，而之前尝试过的数学家都以失败告终，那么你需要具备种种素质，在这其中天赋既不是必要的也不是充分的。
gt;
gt;写这些信的人（指“数学民科”）对数学研究的艰难程度没有一点概念，不了解要想做出重大的原创性工作，必须要花上数年的时间来充分发展知识和专长，也不知道数学是一项多么需要集体合作的活动。
四、总结
似乎，数学跟任何领域一样，你不必是某种天才，但是你必须付出异于常人的努力。然后，因为命运的垂青，你或许可以做出一些原创性工作。
《数学》读后感(九)：这部科普很赞，也很短
近来，我通过中国大学MOOC的慕课《数学建模》获悉一部叫《牛津通识读本》的新出版科普系列。同时购入的有六本——《数学》《法律》《佛学概论》等。由于告知该书的慕课是数学课，我首先阅读的是《数学》。
令我意外的是，本系列的书每本篇幅都短小精悍得让人愉悦（英文类书系列名就叫A Very Short Introduction）。就这本16开大小的《数学》中，有实际内容的只100页左右，剩下的有数十多页附注/答疑，与及100多页的英文原稿（原书作者高尔斯是英国学者）。本书内容质量非常高，并未使『西方当代学科科普』这个标签失色。再考虑到其篇幅如此短小，看来，以后为非理工科班出身的青年们推荐数学科普书，就不必只记得伊恩·斯图尔特与马丁·加德纳了。
虽然这是数学科普，但作者可深知读者心。西方作者所著的数学科普，一向都很能熟练地脱公式脱符号讲问题。与同类书籍比较之下，本书还有个小小的特点：其章节叙述顺序，既不硬从数学史（人类认知史）的流程，也不完全顺应个体认知心理学（教育学）的顺序。开篇破题他选的议题是『数学模型』，非数学专业学生最能适应的一种破题点；然后第二章紧紧承接主题『模型化』，开谈『抽象化』。这个过程的叙述行云流水。我感觉作者很懂怎样说该说的、省去不必说的、跳过不能说的。
第二章《数与抽象》中，作者在引入复数时，首先不能免俗地做了其他科普书差不多的工作：-1的开平方根是复数的定义blabla；然后，他将议题转入更接近上游本质的、但也许常人可能也会想过的问题：形式与实在的关系。
不是说『-1的开平方根』是复数单位i吗？但似乎有两个数的平方等于-1啊（也即i与-i），到底哪个才是正宗的『复数单位』？如果说i是嘛，那么凭什么-i不是？给我讲清楚啊——对吧？我猜，每个人在其漫长的人生中，都曾经想问过这类问题吧：『为嘛数变量用abc、角变量用αβγ』『为嘛求导符用的是一个点』『为嘛积分符像条蛇』『为嘛积分式里有个d』诸如此类。这些问题并不无聊也不白痴，只是常人很难给出有意义的回答而已；它们中的每个往往都蕴含着16世纪数学大师们的智慧精华。当然，本书没有解答所有这类奇离古怪的问题（这不是《十万个为什么》）。在本书里，作者做的是教授课间做的那种事——随便跟好奇的学生聊聊天，证明过程少说了个『在这个条件下』待会再补上。上面提到的『i与-i哪个才是复数单位』这个议题，这段简短的讨论，同时也扮演了下一章《证明》的引子这个角色。
进度到第三章《证明》结束之后，对读者而言，或许就只剩一个小时的阅读时间而已了。后面的章节，议题越来越抽象（空间、维度、距离、无穷等），正要抵达最有趣的部分（集合论）时，突然话锋一转，谈起了与抽象几乎相对的另一端：计算理论与数论；然后，本书的主体竟在此突然收官。看来，作者多多少少还保持了清醒，未过度狂热，未打算将每个有趣的命题都灌到读者脑里。在我看来，那种『X猫X气三千问』的大杂烩式科普其实是很不人道的。大家和我一样都读过一遍又一遍的七桥问题与雪花曲线，没必要再来一次了。这些老生常谈的话题，在本书里各只占了一页的篇幅。太好了。
无论如何，去读一下吧，不会占时间的。
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我这是刚读完前七章就屁颠屁颠跑来写的书评。
还没开始看后面的附录部分。看上去答疑章节也挺有趣的。
《数学》读后感(十)：数学到底应该怎么学？
高中时留有遗憾的恐怕就是英语、数学、计算机这三门课了。其他两门我觉得我多少现在赶上来了，唯独数学这门课毕业后更加一落千丈，乃至拖累了我学习数学的兴趣。
中学的数学，特别是为考试服务的数学，特点是高密度的技巧操练。正如作者在最后一张讲到的，数学（包括技巧的方面）是环环相扣的，一个环节脱节后面的只会越来越吃力。我在高中由于脱产，后来看那些放缩什么的只知其然不知其所以然，完全不知道为什么采取这种思路，什么条件下又该选择什么其他的技巧。还是读此书才不上了我思路上缺失的一环。
另外作者特别强调不要对数学概念作哲学式的玄想。这个我从世界观上是特别赞同的，但是在具体的问题上我却在高中物理的不良影响下犯了错误，视直观形象为捷径。这正是我在物理上栽大跟头的原因。直观形象固然很好，但却是可遇不可求的，把对物理的完整理解建立在这样零星的沙滩上是很危险的。
我自己看数学，把它主要分成了这样三个部分：抽象与理论体系；数学操作及技巧；具体结论和应用。这其中第一点巧妙的呈现出来能非常有趣而深刻，作者在这一点上做得很好。第三点很实用，如果对某门学科很感兴趣，或者平常能多留心，第三点是不难把握的。关键就在这第二点上，一般的数学教育不太重视其他两个方面，大量的精力都集中在数学操作上。这部分难免枯燥需要一些毅力，所以Wolfram曾经做过一集TED，主张取消这部分内容，以将计算机引入教学取而代之，特别是学习算法。Wolfram可能有他的考虑，但我觉得他提出的方案有些流于简单。如果不亲力亲为，实际计算、证明，很多数学上的直观感受是得不到的。比如说观察到两个不同分支的方程或操作有形式上的相似，从而建立起联系，对两者获得更方便直观的印象，开发出更高层次的通用数学工具。当然如果设置数学教育的目的只是为了让大众有日常算术几何的能力，处理生活中的具体问题，而不是选拔科学人才，乃至向全部公民普及科学思想、科学方法；这样的课程设置应该是够用的。
对于不满足Wolfram方案的人，稍稍下一点苦工，钻研透《数学桥》这本书是一个很好的开端。